专题15 锐角三角函数-2021年中考数学真题分项汇编 （湖南专用）

专题15 锐角三角函数 一、单选题 1．（2021·湖南永州市·中考真题）下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据零指数幂，特殊角三角函数值，算术平方根的定义，同底数幂乘法的计算法则分别计算即可． 【详解】 解：A、，此选项正确； B、，此选项错误； C、，此选项错误； D、，此选项错误； 故选：A． 【点睛】 本题考查零指数幂，特殊角三角函数值，算术平方根的定义，同底数幂乘法，熟知相关计算法则即定义是解决本题的关键． 2．（2021·湖南株洲市·中考真题）某限高曲臂道路闸口如图所示，垂直地面于点，与水平线的夹角为，，若米，米，车辆的高度为（单位：米），不考虑闸口与车辆的宽度． ①当时，小于3.3米的车辆均可以通过该闸口； ②当时，等于2.9米的车辆不可以通过该闸口； ③当时，等于3.1米的车辆不可以通过该闸口． 则上述说法正确的个数为（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】 ①三点共线，直接计算可得； ②做出辅助线，构造直角三角形，利用特殊角的三角函数，求出； ③方法同②． 【详解】 如图过E点作交的延长线于点M， 则 ①当时,三点共线， 小于3.3米的车辆均可以通过该闸口，故①正确． ②当时， 等于2.9米的车辆不可以通过该闸口，故②正确． ③当时， 等于3.1米的车辆可以通过该闸口，故③错误． 综上所述：说法正确的为：①②，共2个． 故选：C． 【点睛】 本题考查了三角函数的应用，二次根式的估值，正确的作图，计算和对比选项是解题关键． 3．（2021·湖南衡阳市·中考真题）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯的倾斜角为，大厅两层之间的距离为6米，则自动扶梯的长约为（）（ ）． A．7.5米 B．8米 C．9米 D．10米 【答案】D 【分析】 结合题意，根据三角函数的性质计算，即可得到答案． 【详解】 根据题意，得： ∵米 ∴米 故选：D． 【点睛】 本题考查了三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握三角函数的性质，从而完成求解． 二、填空题 4．（2021·湖南中考真题）如图，在中，，，，交于点．点为线段上的动点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】 过点P作PH⊥AB于点H，由题意易得BD=4，则有AD=3，然后可得，进而可得即为，若使的值为最小，也就相当于为最小，则有当点C、P、H三点共线时，的值为最小，最后问题可求解． 【详解】 解：过点P作PH⊥AB于点H，如图所示： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 若使的值为最小，也就相当于为最小， ∴当点C、P、H三点共线时，的值为最小，如图所示： ∵， ∴， ∴的最小值为； 故答案为． 【点睛】 本题主要考查三角函数及勾股定理，解题的关键是利用“胡不归”模型找到最小值的情况，然后进行求解即可． 5．（2021·湖南娄底市·中考真题）高速公路上有一种标线叫纵向减速标线，外号叫鱼骨线，作用是为了提醒驾驶员在开车时减速慢行．如图，用平行四边形表示一个“鱼骨”，平行于车辆前行方向，，过B作的垂线，垂足为（A点的视觉错觉点），若，则________． 【答案】15． 【分析】 根据同角的余角相等得到，进一步根据三角函数求解即可． 【详解】 解：如图所示， ∵且四边形为平行四边形， ∴，， 又∵, ∴， ∴， ∴, 又∵， ∴mm． 故答案为：15． 【点睛】 本题考查三角函数的实际应用，解题的关键是利用同角的余角相等找出角的关系，根据同角三角函数关系求值． 三、解答题 6．（2021·湖南张家界市·中考真题）计算： 【答案】 【分析】 先运用乘方、绝对值、特殊角的三角函数值以及平方根的性质化简，然后计算即可． 【详解】 解： ． 【点睛】 本题主要考查了乘方、绝对值、特殊角的三角函数值、平方根的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 7．（2021·湖南常德市·中考真题）计算：． 【答案】． 【分析】 直接利用零次幂的运算法则，负次幂的运算法则、二次根式及特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】 解： 故答案是：． 【点睛】 本题考查了零次幂的运算法则，负次幂的运算法则、二次根式及特殊角的三角函数值，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则． 8．（2021·湖南中考真题）计算：． 【答案】3 【分析】 先算零指数幂，绝对值，负整数指数幂以及锐角三角函数，再算加减法，即可求解． 【详解】 原式= =3． 【点睛】 本题主要考查实数的混合运算，熟练掌握零指数幂，绝对值，负整数指数幂以及锐角三角函数，是解题的关键． 9．（2021·湖南怀化市·中考真题）计算： 【答案】11 【分析