专题12 集合的运算-2021年初升高数学无忧衔接（沪教版2020）

专题12 集合的运算 知识精讲 1.交集：由集合与集合的所有公共元素组成的集合叫做与的交集，记作“”，读作“A交B”，即 ①；②，；③； ④；⑤若，则； 文氏图：用封闭曲线直观地表示集合及其关系的图形成为文氏图（以英国逻辑学家John Veen命名） 2.并集：由所有属于集合或者属于集合的元素组成的集合叫做集合与的并集，记作“”，读作“A并B”，即 ①；②，；③； ④；⑤若，则； （1） （2） 3.补集： U A 4集合的综合运算 集合的交、并、补运算的混合运算，以及根据集合的运算结果求参数的取值范围，常常借助文氏图和数轴解决含有参数的问题，这里端点处的值不太好判断，比较好的方法是求出结果带入端点验证是否符合题意。 5.集合的新定义运算 在对前面集合的交、并、补运算理解的基础上新定义一些集合的运算，根据新定义的内涵解决集合的运算问题 典例剖析 1.交集： 【例1】求下列两个集合的交集． (1)A＝{1，2，3，4，5}，B＝{－1，0，1，2，3}； (2)A＝{x|x<－2}，B＝{x|x>－5}． 【难度】★ 【答案】(1)如图所示，A∩B＝{1，2，3}． (2)结合数轴(如图所示)得： A∩B＝{x|－5<x<－2}． 【例2】已知集合，，求； 【难度】★★ 【答案】 【例3】已知集合，，求； 【难度】★ 【答案】 【解析】表示方程组的解得集合，也可以理解为两个函数图像的交点坐标的集合 【例4】设，若，求实数的取值范围 【难度】★★ 【答案】 【例5】已知集合A＝{－4，2a－1，a2}，B＝{a－5，1－a，9}，若A∩B＝{9}，求a的值 【难度】★★ 【答案】∵A∩B＝{9}，∴9∈A，∴2a－1＝9或a2＝9，∴a＝5或a＝±3. 当a＝5时，A＝{－4，9，25}，B＝{0，－4，9}．此时A∩B＝{－4，9}≠{9}．故a＝5舍去． 当a＝3时，B＝{－2，－2，9}，不符合要求，舍去．经检验可知a＝－3符合题意． 【例6】设A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}．若A∩B＝B，求a的值； 【难度】★★ 【答案】化简集合A，得A＝{－4，0}． 由于A∩B＝B，则有B⊆A可知集合B或为空集，或只含有根0或－4. ①若B＝∅，由Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，得a<－1. ②若0∈B，代入x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0， 得a2－1＝0，即a＝1或a＝－1， 当a＝1时，B＝{x|x2＋4x＝0}＝{0，－4}＝A，符合题意； 当a＝－1时，B＝{x|x2＝0}＝{0}A，也符合题意． ③若－4∈B，代入x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0， 得a2－8a＋7＝0，即a＝7或a＝1， 当a＝1时，②中已讨论，符合题意； 当a＝7时，B＝{x|x2＋16x＋48＝0}＝{－12，－4}，不合题意． 综合①②③得a＝1或a≤－1． 对点精练 1．设集合，则集合 【难度】★★ 【答案】 2．已知集合A＝{－4，2a－1，a2}，B＝{a－5，1－a，9}，若9∈A∩B，求a的值 【难度】★★ 【答案】∵9∈A∩B且9∈B，∴9∈A，∴2a－1＝9或a2＝9，∴a＝5或a＝±3. 而当a＝3时，a－5＝1－a＝－2，故舍去．∴a＝5或a＝－3. 3．A∩B设集合A=B，若A∩B求实数的值； 【难度】★★ 【答案】 典例剖析 2. 并集： 【例7】求下列两个集合的交集． (1)A＝{1，2，3，4，5}，B＝{－1，0，1，2，3}； (2)A＝{x|x<－2}，B＝{x|x>－5} 【难度】★ 【答案】(1)如图所示，A∪B＝{－1，0，1，2，3，4，5}， (2)结合数轴(如图所示)得：A∪B＝R， 【例8】设A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，若A∪B＝B，求a的值． 【难度】★★ 【答案】化简集合A，得A＝{－4，0}． 因为A∪B＝B，所以A⊆B，又A＝{－4，0}， 而B至少只有两个根，且根据一元二次方程根的特点， 因此应有A＝B.由(1)知，a＝1. 【例9】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|2m－1≤x≤2m＋1}，若A∪B＝A，求实数m的取值范围． 【难度】★★ 【答案】∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴，∴－≤m≤2. 【例10】已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－6＝0}且A∪B＝A，求实数a的值组成的集合 【难度】★★ 【答案】因为A∪B＝A，所以B⊆A，当B＝∅时，a＝0；当B≠∅时，由x2－3x＋2＝0，得x＝1或2；当x＝1时，a＝6；当x＝2时，a＝3；所以C＝{0，3，6}． 【例11】已知，或， 若，求的取值范围. 【难度】★★ 【答案】， ∴.