专题11 集合的概念、表示、关系-2021年初升高数学无忧衔接（沪教版2020）

专题11 集合的概念、表示、关系 知识精讲 一、集合的意义 1.集合的概念 我们把能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合，简称集．集合中的各个对象叫做这个集合的元素．对于一个给定的集合，集合中的元素具有确定性、互异性、无序性．确定性是指一个对象要么是给定集合的元素，要么不是这个集合的元素，二者必居其一．比如“著名的数学家”、“较大的数”、“高一一班成绩好的同学”等都不能构成集合，因为组成集合的元素不确定．互异性是指对于一个给定的集合，集合中的元素是各不相同的，也就是说，一个给定的集合中的任何两个元素都是不同的对象，集合中的元素不重复出现．例如由元素1，2，1组成的集合中含有两个元素：1，2．无序性是指组成集合的元素没有次序，只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的． 2.集合与元素的字母表示、元素与集合的关系 集合常用大写字母…来表示，集合中的元素用…表示，如果是集合的元素，就记作，读作“属于”；如果不是集合的元素，就记作，读作“不属于” 3.常用的数集及记法 数的集合简称数集，我们把常用的数集用特定的字母表示： 全体自然数组成的集合，即自然数集，记作，不包含零的自然数组成的集合，记作 全体整数组成的集合，即整数集，记作 全体有理数组成的集合，即有理数集，记作 全体实数组成的集合，即实数集，记作 常用的集合的特殊表示法：实数集（正实数集）、有理数集（负有理数集）、整数集（正整数集）、自然数集（包含零）、不包含零的自然数集； 4.集合的分类 我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集 我们引进一个特殊的集合——空集，规定空集不含元素，记作，例如，方程的实数解所组成的集合是空集，又如，两个外离的圆，它们的公共点所组成的集合也是空集． 5.空集：我们把不含任何元素的集合，记作。 二、集合的表示方法 1.集合的表示方法常用列举法和描述法 将集合中的元素一一列举出来（不考虑元素的顺序），并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法，例如，方程的解的集合，可表示为，也可表示为 在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即：（集合中的元素都具有性质，而且凡具有性质的元素都在集合中），这种表示集合的方法叫做描述法．例如，方程的解的集合可表示为． 集合可以用封闭的图形或数轴表示，有限集一般用文氏图表示，无限集一般用数轴表示． 区间：在数学上，常常需要表示满足一些不等式的全部实数所组成 的集合．为了方便起见，我们引入区间（ｉｎｔｅｒｖａｌ）的概念． 闭区间在数轴上表示 开区间在数轴上表示 半开半闭区间在数轴上表示 这里的实数a,b统称为这些区间的端点． 三、集合之间的关系 1、子集： 定义：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，此时我们称A是B的子集。 即： 记作：；读作：A包含于B或B包含A； 注意:有两种可能：（1）A是B的一部分；（2）A与B是同一集合 2、真子集： 典例剖析 知识点一：集合的意义 【例1】下列所给对象不能构成集合的是________． (1)高一数学课本中所有的难题； (2)某一班级16岁以下的学生； (3)某中学的大个子； (4)某学校身高超过1．80米的学生； (5)1，2，3，1． 【难度】★ 【答案】(1)(3)(5) 知识点二：集合与元素的字母表示、元素与集合的关系 【例2】已知x、y、z为非零实数，代数式＋＋＋的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是(　　) A． B． C． D． 【难度】★ 【答案】D 知识点三：常用的数集及记法 【例3】用“”或“”填空 (1)－3______N； (2)3．14______Q； (3)______Z； (4)－______R； (5)1______N*； (6)0________N． 【难度】★ 【答案】(1)　(2)　(3)　(4)　(5)　(6) 知识点四：集合的分类 【例4】已知集合，且中只有一个元素，求的值． 【难度】★★ 【答案】 【例5】已知，求实数的值． 【难度】★ 【答案】 【例6】已知集合S的三个元素a．、b、c是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形　 【难度】★ 【答案】D 【例7】设A为实数集，且满足条件：若a．∈A，则∈A (a．≠1)． 求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素； (2)集合A不可能是单元素集． 证明． 【难度】★★ 【答