第二十讲 基本不等式的应用2-【暑假辅导班】2021年新高一年级数学暑假精品课程（人教A版2019）

第二十讲：基本不等式的应用2 【学习目标】 1．掌握对应的基本不等式求解最值； 2．通过分析实际问题，建立函数方程，通过基本不等式求解最优解. 【基础知识】 基本不等式： 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 【考点剖析】 考点一：实际应用问题（一） 例1．习总书记指出：“绿水青山就是金山银山”.某市一乡镇响应号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”.调研过程中发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：）与肥料费用（单位：元）满足如下关系：，其他成本投入（如培育管理等人工费）为（单位：元）.已知这种水果的市场售价大约为10元，且供不应求.记该单株水果树获得的利润为（单位：元）. （1）求的函数关系式； （2）当投入的肥料费用为多少元时，该单株水果树获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）；（2）当投入的肥料费用为元时，单株水果树获得的利润最大为元. 【详解】 （1）由题意可得， 即， 所以函数的函数关系式为. （2）当时，为开口向上的抛物线， 对称轴为， 所以当时， 当时， ， 当且仅当即时等号成立，此时， 综上所述：当投入的肥料费用为元时，单株水果树获得的利润最大为元. 变式训练1：今年，我国某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2021年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，每生产x(千部)手机，需另投入成本万元，且由市场调研知，海部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完. （1）求出2021年的利润(万元)关于年产量x(千部)的函数关系式(利润销售额成本)； （2）2021年产量为多少(千部)时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）；（2）2021年产量为100(千部)时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元. 【详解】 （1）当时，， 当时，， ∴ （2）若，， 当时，万元， 若，， 当且仅当时，即时，万元， ∴2021年产量为100(千部)时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元. 变式训练2：在一块占地面积为1800平方米的矩形土地中间建三个矩形温室大棚，如图所示，三个大棚占地面积为s平方米，其中，大棚之间及四周路宽均为1米(图中白色部分为大棚，阴影部分为路). （1）试用x和y表示s： （2）若要使s的值最大，则x和y的值分别为多少？ 【答案】（1）； （2）时，取得最大值. 【详解】 （1）依题意可得，，则， 所以 （2）由（1）知 所以，当，时，取得最大值. 变式训练3：在对口扶贫工作中，生态基地种植某中药材的年固定成本为250万元，每产出吨需另外投入可变成本万元，已知．通过市场分析，该中药材可以每吨50万元的价格全部售完．设基地种植该中药材年利润为万元，当基地产出该中药材40吨时，年利润为190万元． （1）求的值； （2）求年利润的最大值（精确到万元），并求此时的年产量（精确到吨）． 【答案】（1）；（2）当年产量约为吨时，年利润最大约为万元． 【详解】 （1）由题意，当基地产出该中药材40吨时，年成本为万元， 利润为，解得. （2）当时，利润为， 因为对称轴，在上为增函数， 所以当时，万元； 当时，， 当且仅当，即时取等号； 所以当年产量约为吨时，年利润最 考点二：实际应用问题（二） 例2．我们学习了二元基本不等式：设,,,当且仅当时，等号成立利用基本不等式可以证明不等式，也可以利用“和定积最大，积定和最小”求最值. （1）对于三元基本不等式请猜想：设________当且仅当时，等号成立（把横线补全）. (2)利用（1）猜想的三元基本不等式证明： 设求证： (3)利用（1）猜想的三元基本不等式求最值： 设求的最大值. 【答案】（1）（2）证明见解析（3） 【详解】 （1）通过类比,可以得到当,,时,当且仅当时,等号成立； （2）证明：,,,由（1）可得, （3）解：由（1）可得,,即,由题,已知,,,,,，, 当且仅当,即时取等,即的最大值为 变式训练1：某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容： 例：求的最小值．解：利用基本不等式，得到，于是，当且仅当时，取到最小值 （1）老师请你模仿例题，研究上的最小值；（提示：） （2）研究上的最小值； （3）求出当时，的最小值． 【答案】（1）（2）（3） 【详解】 （1） 当且仅当时，取到最小值 （2） 当且仅当时，取到最小值 （3