第二十二讲 一元二次不等式及其应用-【暑假辅导班】2021年新高一年级数学暑假精品课程（人教A版2019）

第二十二讲：一元二次不等式及其应用 【学习目标】 1．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程．了解一元二次不等式的现实意义. 2．分类讨论，求解含参的不等式． 【基础知识】 一、一元二次不等式的概念 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数 二、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 三、一元二次不等式恒成立问题 1．转化为一元二次不等式解集为R的情况，即 ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔ 2．分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题． 【考点剖析】 考点一：解一元二次不等式 例1．求下列不等式的解集： （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）；（2）；（3）或；（4）. 【详解】 （1）原不等式等价于，即，所以原不等式的解集是； （2）原不等式的解集是； （3）原不等式等价于，所以原不等式的解集是或； （4）原不等式等价于，，则原不等式的解集是. 变式训练1：一元二次不等式的解集是（ ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【详解】 求解，可得，所以. 故选：B. 变式训练2：一元二次不等式的解集是（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】 由题意，或， 所以不等式的解集是或. 故选：D. 变式训练3：关于的一元二次不等式的解集为（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【详解】 原不等式为，即，解得， 因此，关于的一元二次不等式的解集为. 故选：C. 考点二：一元二次不等式求解逆用 例2．设一元二次不等式的解集为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 由一元二次不等式的解集为，可知方程的两根为，则，解得，故． 故选B． 变式训练1：变式训练2：设一元二次不等式的解集为，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 由题意可知方程的根为， 由韦达定理得：，， 解得，所以. 故选：B. 变式训练2：已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的一元二次不等式的解集为（ ） A． B． C．， D． 【答案】C 【详解】 由于关于的一元二次不等式的解集为，所以，所以，所以不等式等价于，即，解得. 故选C. 考点三：解含参一元二次不等式（一） 例3．． 【答案】见解析 【详解】 ． ①，即或时， 不等式的解集为； ②，即或时， 不等式的解集为； ③，即时，不等式的解集为. 变式训练1：已知函数（）． （1）当时，求不等式的解集； （2）解不等式． 【答案】（1）；（2）答案见解析. 【详解】 （1）当时，. 即，可化为. 方程的根为：， 所以，不等式的解为：. 因此的解为. （2） ①当时，不等式化为，解得. ②当时，开口向上，此时 (i)，即时，方程无解，不等式解为：. (ii)，即时，方程有唯一解，，不等式解为：. (iii)，即时，方程有两解， ，，且 不等式解为或. ③时，开口向下，此时，显然，方程有两解， ，，且. 不等式解为. 综上所述， 当时，不等式解集为 当时，不等式解集为 当时，不等式解集为或 当时，不等式解集为 当时，不等式解集为. 变式训练2：解不等式 【答案】答案见解析 【详解】 解：， ， 当时，即时， 方程有两个相等的实数根为：， 故原不等式的解集为； 当时，即， 方程有两个不等的实数根为： 故原不等式的解集为或； 当时，即或时， 原不等式的解集为； 综上所述：当或时，原不等式的解集为； 当时，故原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或. 考点四：解含参一元二次不等式（二） 例4．解下列含参数的不等式： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）见解析（2）见解析见解析 【详解】 （1）原不等式等价于， 对应方程两根为， 比较两根的大小情况，可得 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． （2）当时，不等式化为．解得． 当时，方程的两根为，． ①时，分情况讨论： 时，； 时，； 时，． ②时，． 综上，当时