第一章 集合与常用逻辑用语 章末总结-2022年高考数学一轮复习(同步备课学案+题型分析+课时训练)（2019人教B版必修第一册）

第一章 集合与常用逻辑用语

章末总结

【要点归纳】

一．集合与元素

1．集合的概念：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．

集合的概念可以从以下几个方面来理解：

(1)集合是一个“整体”；

(2)构成集合的对象必须具有“确定”且“不同”这两个特征．这两个特征不是模棱两可的．

判定一组对象能否构成一个集合，关键要看是否有一个明确的客观标准来鉴定这些对象，若鉴定对象确定的客观标准存在，则这些对象就能构成集合，否则不能构成集合．

2．集合中元素的特性：

(1)确定性：设A是一个给定的集合，x是某一具体对象．则x或者是A的元素，或者不是A的元素．两种情况必有一种且只有一种情况成立．如：大于3小于11的偶数分别为4,6,8,10，它们是确定的，可构成集合，而“我国的小河流”，由于“小”这个标准不确定，所以构不成集合．

(2)互异性：“集合中的元素必须是互异的”，就是说，“对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的”，如方程(x－1)2＝0的解构成的集合为{1}，而不能记为{1,1}．

(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如集合{ a，b，c}与{b，a，c}是同一集合．

3．元素与集合的关系

(1)当不涉及具体对象时，一般用大写的拉丁字母A，B，C…表示集合；用小写的拉丁字母a.，b，c…表示元素．

(2)元素和集合是两个不同概念，符号∈和用来表示元素和集合的“属于”和“不属于”关系．

4．集合的表示方法

我们可以用自然语言描述一个集合．除此之外，还可以用集合语言，即通过约定的数学符号来表示集合，常用的有列举法和描述法．

(1)列举法

把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法．如元素a1，a2，…，an构成集合，记为a1，a2，…，an}．

使用列举法必须注意：

(1)元素间用“，”分隔；

(2)集合中的元素必须满足三个特性；

(3)对于含有有限个元素且个数较少的集合采取该方法较合适；若元素个数较多或无限个且构成集合的元素呈现一定的规律，在不会发生误解的情况下，也可以列举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示．

如不超过100的自然数的全体构成的集合可表示为{0,1,2,3，…，100}；正整数集可表示为N＋＝{1,2,3，…}．

(2)描述法

用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，用符号来表示便是A＝{x∈I|p(x)}，其中的x表示集合中的代表元素，I表示代表元素x的取值范围，p(x)则表示代表元素x的共同特征．

使用描述法必须注意：

(1)写清楚该集合中的代表元素，即代表元素是什么：是数，或是有序实数对(点)，或是集合，或是其他形式；

(2)准确说明集合中元素的共同特征；

(3)所有描述的内容都要写在集合符号内，并且不能出现未被说明的字母．但是，如果从上下文的关系看，表示代表元素的范围，如x∈R是明确的，则x∈R可以省略，只写其元素x；

(4)用于描述的语句力求简明、准确，多层描述时，应准确使用“且”、“或”等表示描述语句之间关系的词．

注意：一般来讲，有限集(当集合中元素的个数有限时，称为有限集；否则，当集合中元素的个数无限时，称为无限集)宜采用列举法，它具有直观明了的特点；无限集不宜一一列举的，宜采用描述法，若无限集有规律，也可以用列举法．描述法可以清晰地反映集合中元素的属性.

二．集合间的基本关系

1．子集：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说集合A包含于集合B，或说集合B包含集合A，记作：A⊆B(或B⊇A)．这时我们也说集合A是集合B的子集．

需要注意的几点：

(1)“A是B的子集”的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由任意x∈A能推出x∈B.

(2)当A不是B的子集时，我们记作“A⊈B”．

(3)任何一个集合是它本身的子集，因为对于任一个集合A，它的每一个元素都属于本身，记作A⊆A.

(4)空集是任何集合的子集，即对于任一个集合A，都有∅⊆A.

(5)空集是一个特殊的集合，它的特殊有两点：①它不含任何一个元素．②它既是任何一个集合的子集，也是任何一个非空集合的真子集．在解决诸如A⊆B，或AB类问题时，必须优先考虑，A＝∅时是否满足题意．

2．集合相等

如果集合A的任何一个元素，都是集合B的元素．同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A＝B.

需要理解以下两点：

(1)若A⊆B，同时A⊇B，则A＝B.因为A⊆B，所以A的元素都是B的元素；又因为B⊆A，所以B的元素都是A的元素，这就是说，集合A与集合B的元素完全相同，因此，A＝B.

(2)要证明A＝B，只需要证明A⊆B且B⊆A成立即可．即可设任意x0∈A，证明x0∈B从而得出A⊆B.又设任意y0∈B，证明y0∈A从而得到B⊆A，进而得到A＝B.

(3)判断两集合是否相等可用列举法．

3．真子集

如果A⊆B，且A≠B，就说集合A是集合B的真子集，记作AB.它用韦恩图表示如下：