专题03 一元二次方程根与系数的关系、二次函数的最值问题重难点突破-【教育机构专用】2021年暑假初升高数学精品讲义（全国通用版）

专题03 一元二次方程根与系数的关系、二次函数的最值问题 现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用．本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述．二次函数是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量取任意实数时的最值情况(当时，函数在处取得最小值，无最大值；当时，函数在处取得最大值，无最小值． 1、 知识结构思维导图 2、 学法指导与考点梳理 1、一元二次方程的根的判断式 一元二次方程，用配方法将其变形为： (1) 当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实数根： (2) 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根： (3) 当时，右端是负数．因此，方程没有实数根． 由于可以用的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把叫做一元二次方程的根的判别式，表示为： 2、一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的两个根为： 所以：， 定理：如果一元二次方程的两个根为，那么： 3、 重难点题型突破 例1．（1）一元二次方程根的情况是（ ） A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【答案】C 【分析】 先将一元二次方程化成一般形式，再利用根的判别式即可得． 【详解】 解：将一元二次方程化成一般形式为， 此方程根的判别式为， 则此方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 【点睛】 本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． （2）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用一元二次方程根的判别式逐项判断即可得． 【详解】 A、方程的根的判别式为，则方程有两个相等的实数根，此项不符题意； B、方程的根的判别式为，则方程没有实数根，此项不符题意； C、方程的根的判别式为，则方程没有实数根，此项不符题意； D、方程的根的判别式为，则方程有两个不相等的实数根，此项符合题意； 故选：D． 【点睛】 本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． （3）已知，为一元二次方程的两根，那么的值为（ ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】 利用一元二次方程解的定义和韦达定理可得，，将整理成，代入即可求解． 【详解】 解：∵，为一元二次方程的两根， ∴，， ∵， 故选：C． 【点睛】 本题考查一元二次方程的解、韦达定理，掌握一元二次方程的解的定义和韦达定理是解题的关键． 例2．（1）已知二次函数（，）的图象经过点，，与x轴交于点，点（点A在点B的左侧）．若，则有下列结论：①，，②，③．其中正确结论的序号是（ ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】 ①将点，，代入抛物线表达式得：，由得：，求出、的表达式，即可求解；②，则，故；③由①知，，，则右侧交点在和之间，即可求解． 【详解】 解：①将点，，代入抛物线表达式得：， 由得：③， 则③①得：，故， ①②得：， 故①正确，符合题意； ②， 由③式得：， 故， 故②正确，符合题意； ③由①知，，， 则右侧交点在和之间， 即， 故③正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】 本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． （2）如图，已知抛物线的对称轴在轴右侧，抛物线与轴交于点和点，与轴的负半轴交于点，且，则下列结论：①；②；③；④当时，在轴下方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点，（点在点左边），使得．其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】 依据抛物线的图像和性质，根据题意结合二次函数图象与系数的关系，逐条分析结论进行判断即可 【详解】 ①从图像观察，开口朝上，所以， 对称轴在轴右侧，所以， 图像与轴交点在x轴下方，所以 ，所以①不正确； ②点和点，与轴的负半轴交于点，且 设代入,得： ，所以②正确； ③， 设抛物线解析式为：过 ，所以③正确； ④如图：设交点为P，对称轴与x轴交点为Q，顶点为D， 根据抛物线的对称性， 是等腰直角三角形， ， ， 又对称轴 由顶点坐标公式可知 由题意，解得 或者 由①知，所以④不正确． 综上所述：②③正确共2个 故选B． 【点睛】 本题考查了二次函数图象与系数的关系，利用了数形结合的思想，二次函数（a≠0），a的符号由抛物线的开口决定；b的符号由a及对称轴的位置确定；c的符号由抛物线与y轴交