专题02 因式分解重难点突破-【教育机构专用】2021年暑假初升高数学精品讲义（全国通用版）

专题02 因式分解重难点突破 因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等． 1、 知识结构思维导图 2、 学法指导与考点梳理 1、公式法(立方和、立方差公式) 在第一讲里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式： (立方和公式) (立方差公式) 由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到： 这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)． 2、分组分解法 从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组． 1．分组后能提取公因式 2．分组后能直接运用公式 3、十字相乘法 1．型的因式分解 2．一般二次三项式型的因式分解 3、 重难点题型突破 重难点题型突破01 公式法 例1．（1）因式分解：（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用平方差公式因式分解即可． 【详解】 解：， 故选：A． 【点睛】 本题考查利用平方差公式进行因式分解，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． （2）．下列多项式能用完全平方公式因式分解的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据完全平方式的结构a2+2ab+b2或a2-2ab+b2的形式，即可作出判断． 【详解】 解：A、不是完全平方式，故不符合题意； B、，是完全平方式，故符合题意； C、不是完全平方式，故不符合题意； D、不是完全平方式，故不符合题意； 故选B． 【点睛】 本题考查了完全平方式的结构，正确理解结构是判断的关键． 【变式训练1-1】．若，则的值等于________． 【答案】2 【分析】 由可得，利用完全平方公式把所求代数式因式分解，把整体代入即可得答案． 【详解】 ∵， ∴， ∴==2， 故答案为：2 【点睛】 本题考查利用完全平方公式求代数式的值，熟练掌握完全平方公式，运用整体代入的思想是解题关键． 【变式训练1-2】．分解因式：____________． 【答案】 【分析】 先提公因式，再运用完全平方公式． 【详解】 解：原式＝2（m2-6m+9） ＝． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了整式的因式分解，掌握提公因式法和因式分解的完全平方公式是解决本题的关键． 【变式训练1-3】．因式分解： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】 （1）先提取公因式，然后利用平方差公式进行因式分解； （2）利用平方差公式进行因式分解； （3）先提取公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解； （4）先利用平方差公式进行因式分解，然后再利用完全平方公式进行因式分解． 【详解】 解：（1） = = （2） （3） （4） ． 【点睛】 本题考查提公因式和公式法分解因式，掌握提取公因式的技巧和平方差公式，完全平方公式的公式结构准确计算是解题关键． 重难点题型突破02 分组分解法 例2．多项式因式分解为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 先提取公因式，再利用完全平方公式将括号里的式子进行因式分解即可 【详解】 解： 故答案选：A． 【点睛】 本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解．正确应用公式分解因式是解题的关键． 【变式训练2-1】分解因式：______． 【答案】． 【分析】 观察所给多项式有公因式a，先提出公因式，剩余的三项可利用完全平方公式继续分解． 【详解】 解：原式， ， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了用提公因式法和公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，有公因式要先提公因式，再考虑运用公式法分解，注意一定要分解到无法分解为止． 【变式训练2-2】．分解因式：____；分式方程：解为_____． 【答案】 x＝1 【分析】 （1）先提取公因式，然后按照完全平方公式分解即可； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】 解：（1） = =； （2）去分母得：x2−x−2＋x＝x2−2x， 解得：x＝1， 经检验x＝1是分式方程的解， 故答案为：；x＝1． 【点睛】 此题考查了因式分解，解分式方程，利用了转化的思想，解分