专题01 数与式的计算重难点突破-【教育机构专用】2021年暑假初升高数学精品讲义（全国通用版）

专题01 数与式的计算 在初中，我们已学习了实数，知道字母可以表示数用代数式也可以表示数，我们把实数和代数式简称为数与式．代数式中有整式（多项式、单项式）、分式、根式．它们具有实数的属性，可以进行运算．在多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式（平方差公式与完全平方公式），并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便．由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运算，因此本节中将拓展乘法公式的内容，补充三个数和的完全平方公式、立方和、立方差公式．在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学学习中，经常会接触到被开方数是字母的情形，但在初中却没有涉及，因此本节中要补充．基于同样的原因，还要补充“繁分式”等有关内容． 1、 知识结构思维导图 2、 学法指导与考点梳理 考点1 乘法公式 （1）平方差公式 ； （2）完全平方公式 ． （3）立方和公式 ； （4）立方差公式 ； （5）三数和平方公式 ； （6）两数和立方公式 ； （7）两数差立方公式 ． 考点2 根式 式子叫做二次根式，其性质如下： (1) (2) (3) (4) 3、 重难点题型突破 一、乘法公式 【公式1】 【公式2】(立方和公式) 【公式3】(立方差公式) 例1．（1）若且，则_____． 【答案】 【分析】 根据，利用完全平方公式可得，根据x的取值范围可得的值，利用平方差公式即可得答案． 【详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴=， ∴==， 故答案为： 【点睛】 本题考查了完全平方公式及平方差公式，准确运用公式是解题的关键． （2）．计算的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 先乘以2−1，再依次根据平方差公式进行计算即可． 【详解】 ＝（2−1）（2＋1）（22＋1）（24＋1）…（22018＋1） ＝（22−1）（22＋1）（24＋1）…（22018＋1） ＝（24−1）（24＋1）…（22018＋1） ＝（22018-1）（22018＋1） ＝， 故选：B． 【点睛】 本题考查了平方差公式的应用，主要考查学生运用公式进行计算的能力，注意：（a＋b）（a−b）＝a2−b2，难度适中． 【变式训练1-1】．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 分别根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘以多项式法则、多项式乘以多项式法则进行计算即可判断求解． 【详解】 解：A. ，原选项计算错误，不合题意； B. ，原选项计算正确，符合题意； C. ，原选项计算错误，不合题意； D. ，原选项计算错误，不合题意． 故选：B 【点睛】 本题考查了整式的乘法运算，乘法公式等知识，熟知乘法公式和整式的乘法法则是解题关键． 例2、（1）计算： 【解析】原式= （2）计算： 【解析】原式= 【变式训练2-1】．计算： （1） （2） （3） （4） 【解析】（1）原式= （2）原式= （3）原式= （4）原式= 说明：（1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构． （2）为了更好地使用乘法公式，记住1、2、3、4、…、20的平方数和1、2、3、4、…、10的立方数，是非常有好处的． 【变式训练2-2】．已知，求的值． 【解析】 原式= 【变式训练2-3】．已知，求的值． 【解析】 原式= ① ②，把②代入①得原式= 二、根式 式子叫做二次根式，其性质如下： (1) (2) (3) (4) 例3．（1）将化为最简二次根式，其结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据二次根式的化简方法即可得． 【详解】 解：原式， ， 故选：D． 【点睛】 本题考查了二次根式的化简，熟练掌握化简方法是解题关键． （2）．计算：（ ） A． B．－2 C． D． 【答案】A 【分析】 将化简，然后根据乘法法则运算即可． 【详解】 解： 故选：A． 【点睛】 本题考查了二次根式的乘法运算，熟悉相关性质是解题的关键． 【变式训练3-1】．给出下列结论：①在3和4之间；②中的取值范围是；③的平方根是3；④；⑤．其中正确的个数为（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】 根据估算出的大小、二次根式的意义、算术平方根、无理数比较大小方法，即可解答． 【详解】 解：①， ， 故①错误； ②因为二次根式中的取值范围是，故②正确； ③，9的平方根是，故③错误； ④，故④错误； ⑤∵，， ∴，即，故⑤错误； 综上所述：正确的有②，共1个， 故选：． 【点睛】 本题考查了故算无理数的大小，解决本