第5讲 椭圆-2021-2022学年高二数学多选题专项提升（人教A版2019选择性必修第一册）

椭圆 参考答案与试题解析 一．多选题（共20小题） 1．已知椭圆的左、右焦点分别为、，且，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是　　 A．的最小值为 B．椭圆的短轴长可能为2 C．椭圆的离心率的取值范围为 D．若，则椭圆的长轴长为 【分析】由焦距的值及的坐标可得轴，由椭圆的定义到左焦点的距离转化为到右焦点的距离，当，，三点共线时取到最小值，因为在椭圆内可得，可得短轴长大于2，由在椭圆内可得长轴长大于，进而可得椭圆的离心率的范围；，可得为的中点，由，的坐标求出的坐标，进而由两点间的距离求出长轴长的值． 【解答】解：由可得：，所以轴， 中，，当且仅当，，三点共线时，取到最小值为，所以正确； 中，因为在椭圆内，，所以短轴长，故不正确； 中，因为在椭圆内，所以长轴长，所以离心率，所以，所以不正确； 中，因为，所以为的中点，而，，，所以， 所以长轴长，所以正确， 故选：． 【点评】本题考查椭圆的性质，及由向量相等可得中点问题，及考查椭圆的定义，属于中档题． 2．已知、是椭圆的左、右焦点，、是左、右顶点，为椭圆 的离心率，过右焦点的直线与椭圆交于，两点，已知，，，设直线的斜率为，直线和直线的斜率分别为，，直线和之间的斜率分别为，，则下列结论一定正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】过点作的平行线，交于点，设，，可得，由椭圆定义可得．，在△中，由勾股定理可得：，即可判断的正误， 设，则，即可判断正误． 【解答】解：，，过点作的平行线，交于点，． 设，， 又，， ，，，． ，， 在△中，，，， ，，， 椭圆离心率，故正确， ，故错， 设，易得，， 则，故正确， 同理，故错． 故选：． 【点评】本题考查了椭圆的性质，考查了转化思想、计算能力，解题的关键是利用好几何关系、椭圆的定义，属于中档题． 3．已知是椭圆上一动点，，分别是圆与圆上一动点，则　　 A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【分析】利用圆的方程求出圆心与半径，判断圆心与椭圆的焦点坐标重合，利用圆的性质求解最值即可． 【解答】解：圆与圆的圆心分别为：；， 则、是椭圆的两个焦点坐标，两个圆的半径为， 所以的最大值为； 的最小值． 故选：． 【点评】本题考查椭圆的简单性质以及圆的性质的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题． 4．设点、直线分别是椭圆的右焦点、右准线，点是椭圆上一点，记点到直线的距离为，椭圆的离心率为，则的充分不必要条件有　　 A． B．， C．， D．， 【分析】利用椭圆的第二定义，求出离心率的范围，得到充要条件，然后判断充分不必要条件，即可得到选项． 【解答】解：点、直线分别是椭圆的右焦点、右准线，点是椭圆上一点，记点到直线的距离为，椭圆的离心率为，则的充要条件为：，又， 所以满足椭圆的充要条件为：． 所以满足题意的充分条件为：，或，． 故选：． 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，第二定义的应用，充要条件的判断，是基础题． 5．已知是椭圆的右焦点，椭圆上至少有21个不同的点，2，3，，，，，组成公差为的等差数列，则　　 A．该椭圆的焦距为6 B．的最小值为2 C．的值可以为 D．的值可以为 【分析】由题意可得，，的值，进而可得椭圆上的点到焦点的最大值最小值，由，，，组成公差为的等差数列，可设等差数列的第一项为椭圆上的点到焦点的最小值，求出公差的表达式，进而可得的取值范围． 【解答】解：由题意的方程可得：，，，所以正确； 的最小值为：，所以正确； 设，，，组成公差为的等差数列为，可得该数列为单调递增的数列，，，又， 所以，所以正确，不正确； 故选：． 【点评】本题考查椭圆的性质及等差数列的性质，属于中档题． 6．设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于，两点，则　　 A．为定值 B．的周长的取值范围是， C．当时，为直角三角形 D．当时，的面积为 【分析】利用椭圆的性质以及定义，直线与椭圆的位置关系，向量的数量积以及三角形的面积，分析判断选项的正误即可． 【解答】解：设椭圆的左焦点为，则，所以为定值6，正确； 的周长为，因为为定值6，易知的范围是，所以的周长的范围是，错误； 将与椭圆方程联立，可解得，，又易知，所以，所以为直角三角形，正确； 将与椭圆方程联立，解得，，所以，正确． 故选：． 【点评】本题考查椭圆的性质，椭圆与直线的位置关系．考查分析问题解决问题的能力，是中档题． 7．已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，点在圆上，且圆上的所有点均在椭圆外，若的最小值为，且椭圆的长轴长恰与圆的直径长相等，则下列说法正确的是　　 A．椭圆的焦距为2 B．椭圆的短轴长为 C．的最小值为 D．过点的圆的切线斜率为 【分析】由题易知，，．设椭圆的左焦点为，由椭圆的定义可知，，所以，即，再结合两点间的距离公式可解得或5（由