第10讲函数的单调性与最值（考点精讲）-备考2022年高考数学一轮复习之考点精讲练（新高考地区专用）

备考2022年高考高三数学复习之考点精讲 第10讲 函数的单调性与最值 【知识点梳理】 知识点1　函数的单调性 单调函数的定义 增函数 减函数 定 义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象 是上升的 自左向右看图象 是下降的 知识点2　函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 ①对于任意x∈I，都有f(x)≤M ③对于任意x∈I，都有f(x)≥M ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M ④存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 知识点3 函数的单调性的判断方法 (1)利用定义 ①＞0⇔f(x)在[a，b]上是增函数； ＜0⇔f(x)在[a，b]上是减函数． ②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔f(x)在[a，b]上是增函数； (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔f(x)在[a，b]上是减函数． (2)适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数． (3)利用图象．由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接． (4)利用性质．①函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)，u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”．②两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数 【考点精讲】 考点一：判断函数的单调性 例1、【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设函数，则f(x) A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减 【答案】D 【解析】由得定义域为，关于坐标原点对称，又， 为定义域上的奇函数，可排除AC； 当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，排除B； 当时，， 在上单调递减，在定义域内单调递增， 根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确. 变式训练1-1.下列函数中，在区间上为增函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据指数函数、二次函数、对数函数以及复合函数的单调性逐一判断四个选项的正误，即可得正确选项. 【详解】 对于选项A：的定义域为，是由和复合而成，和都是增函数，所以在上为增函数，故选项A正确； 对于选项B：对称轴为，开口向上，所以在单调递减，在单调递增，故选项B不正确， 对于选项C：在区间上为减函数，故选项C不正确； 对于选项D：在区间上为减函数，故选项D不正确； 故选：A. 变式训练1-2．（2021·全国高考真题（文））下列函数中是增函数的为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项. 【详解】 对于A，为上的减函数，不合题意，舍. 对于B，为上的减函数，不合题意，舍. 对于C，在为减函数，不合题意，舍. 对于D，为上的增函数，符合题意， 故选：D. 考点二： 函数单调性的应用 例2、【2020年新高考全国Ⅰ卷】若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且， 所以在上也是单调递减，且，， 所以当时，，当时，， 所以由可得： 或或. 解得或， 所以满足的的取值范围是， 故选：D． 变式训练2-1.已知函数，若，则、、的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 依题意可得在上是增函数，且，因此，又，进而可得结果. 【详解】 显然在上是增函数，且， 当时，，所以，又，从而. 故选：D. 变式训练2-2.已知函数，，，，则（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性可得结果. 【详解】 因为，所以在上单调递增，在上单调递减．且当时，；当时，． 因为，，，所以，故． 故选：A. 变式训练2-3.偶函数的定义域为，当时，是增函数，则、、的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 分析出函数在上的单调性，可得出，比较、、的大小关系，即可得出结论. 【详解】 因为函数是偶函数且在上为增函数，故函数在上为减函数， 所以，， 故选：D． 变式训练2-4．（2021·贵州黔东南苗族侗族自治州·凯里一中高三三模（文））设函数，则不等式的解