第09讲对数与对数函数（考点精讲）-备考2022年高考数学一轮复习之考点精讲练（新高考地区专用）

备考2022年高考高三数学复习之考点精讲 第9讲 对数与对数函数 【知识点梳理】 知识点1　对数与对数运算 (1)对数的运算性质： ①alogaN＝N；②logaaN＝N(a＞0且a≠1)． 思考1：logax2＝2logax一定成立吗？ 提示：不一定．如loga(－5)2≠2loga(－5)． (2)对数的运算法则 如果a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，则 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)． (3)对数的换底公式 logab＝(a＞0且a≠1，c＞0且c≠1，b＞0)． 知识点2　对数函数的图象与性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 图象过定点(1，0)，即恒有loga1＝0. ①当x＞1时，恒有y＞0； 当0＜x＜1时，恒有y＜0. ②当x＞1时，恒有y＜0； 当0＜x＜1时，恒有y＞0. 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 【考点精讲】 考点一： 对数与对数运算 例1.若实数a，b满足，则（ ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】 先将指数式化成对数式，求出，再利用换底公式的推论以及对数的运算法则即可求出． 【详解】 因为，所以， ． 故选D． 【点睛】 本题主要考查指数式与对数式的互化、换底公式推论的应用以及对数的运算法则的应用． 变式训练1-1.计算：___________. 【答案】 【分析】 利用指数幂和对数的运算直接求出. 【详解】 . 故答案为：. 变式训练1-2.计算：_____________________； 【答案】 【分析】 利用指数幂和对数的运算性质即可得到结果. 【详解】 ， 故答案为： 变式训练1-3.设，，则 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 先根据已知求出，再求的值. 【详解】 ， ，则. 故选D 【点睛】 本题主要考查对数的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 变式训练1-4. _________ 【答案】2 【分析】 根据对数的运算公式和性质即可求出结果. 【详解】 . 故答案为：. 【点睛】 本题主要考查了对数的运算公式和性质，属于基础题. 变式训练1-5.__________. 【答案】 【分析】 将变形为，去括号后提公因式，然后利用对数的运算性质即可计算出所求代数式的值. 【详解】 原式. 故答案为：. 【点睛】 本题考查对数的计算，在计算时注意对数运算性质以及化简技巧的应用，考查计算能力，属于基础题. 考点二：对数函数的图象 例2.如图，① ② ③ ④ 中不属于函数，，的一个是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】 根据对数函数过点及对称性即可判断. 【详解】 令，可得过点，过点，过点，所以③ 是函数的图象，④是函数的图象，因为与关于轴对称，所以①是函数的图象. 故选：B. 【点睛】 本题主要考查对数函数的图象，属于基础题. 变式训练2-1.在同一直角坐标系中，函数， 的图象大致为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 当时，根据一次函数和对数函数的单调性，排除C、D选项，当时，根据一次函数和对数函数的单调性，排除B选项，即可得到答案. 【详解】 由题意，当，函数为单调递减函数， 若时，函数与的零点，且函数在区间上为单调递减函数，排除C、D选项； 若时，函数与的零点，且函数在区间上为单调递增函数，排除B选项. 综上得，正确答案为A. 【点睛】 本题主要考查了一次函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答中一次函数与对数函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 变式训练2-2.（且）的图象恒过定点A，则A点坐标为________． 【答案】 【分析】 由对数函数的图象恒过定点，利用换元的思想即可求解. 【详解】 因为对数函数的图象恒过定点， 所以令，解得， 此时函数的函数值为， 所以所求的A点坐标为. 故答案为： 【点睛】 本题考查对数函数的图象与性质和换元思想的运用；考查等价转化思想；熟练掌握对数函数的图象与性质是求解本题的关键；属于基础题、常考题型. 考点三：对数函数的性质的应用 例3.函数的定义域是__________. 【答案】 【解析】 由 知， ，又因为，所以解得， 函数的定义域为 即答案为 例4.已知函数，若在上为减函数，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用复合函数法可得知内层函数在上为减函数，且在上恒成立，由此列出关于实数的不等式组，解出即可. 【详解】 函数的内层函数为，外层函数为， 由于函数在上为减函数，且外层