专题11 等比数列 -备战2022年高考数学一轮复习（真题+模拟）训练

专题11 等比数列 第一部分 真题部分 一、选择题 1．（2021·浙江高考真题）已知 ，函数 .若 成等比数列，则平面上点 的轨迹是（ ） A．直线和圆 B．直线和椭圆 C．直线和双曲线 D．直线和抛物线 【答案】C 【解析】由题意得 ，即 ， 对其进行整理变形： ， ， ， ， 所以 或 ， 其中 为双曲线， 为直线. 故选：C. 2．（2021·全国高考真题）设正整数 ，其中 ，记 ．则（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于A选项， ， ， 所以， ，A选项正确； 对于B选项，取 ， ， ， 而 ，则 ，即 ，B选项错误； 对于C选项， ， 所以， ， ， 所以， ，因此， ，C选项正确； 对于D选项， ，故 ，D选项正确. 故选：ACD. 3．（2020·全国高考真题（文））设 是等比数列，且 ， ，则 （ ） A．12 B．24 C．30 D．32 【答案】D 【解析】设等比数列 的公比为 ，则 ， ， 因此， . 故选：D. 4．（2020·全国高考真题（理））数列 中， ， ，若 ，则 （ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】在等式 中，令 ，可得 ， ， 所以，数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，则 ， ， ，则 ，解得 . 故选：C. 5．（2019·全国高考真题（理））已知各项均为正数的等比数列 的前4项和为15，且 ，则 （ ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】C 【解析】设正数的等比数列{an}的公比为 ，则 ， 解得 ， ，故选C． 二、填空题 6．（2021·江苏高考真题）已知等比数列 的公比为 ，且 ， ， 成等差数列，则 的值是___________. 【答案】4 【解析】因为 为等比数列，且公比为 ， 所以 ， 且 ， . 因为 ， ， 成等差数列， 所以 ， 有 ， ， 解得 . 故答案为： . 7．（2019·全国高考真题（理））记Sn为等比数列{an}的前n项和．若 ，则S5=____________． 【答案】 . 【解析】设等比数列的公比为 ，由已知 ，所以 又 ，所以 所以 ． 8．（2020·江苏高考真题）设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an+bn}的前n项和 ，则d+q的值是_______． 【答案】 【解析】设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，根据题意 . 等差数列 的前 项和公式为 ， 等比数列 的前 项和公式为 ， 依题意 ，即 ， 通过对比系数可知 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ，故 . 故答案为： 三、解答题 9．（2021·天津高考真题）已知 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 是公比大于0的等比数列， ． （I）求 和 的通项公式； （II）记 ， （i）证明 是等比数列； （ii）证明 【答案】（I） ， ；（II）（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【解析】（I）因为 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 所以 ，所以 ， 所以 ； 设等比数列 的公比为 ， 所以 ，解得 （负值舍去）， 所以 ； （II）（i）由题意， ， 所以 ， 所以 ，且 ， 所以数列 是等比数列； （ii）由题意知， ， 所以 ， 所以 ， 设 ， 则 ， 两式相减得 ， 所以 ， 所以 . 10．（2021·浙江高考真题）已知数列 的前n项和为 ， ，且 . （1）求数列 的通项； （2）设数列 满足 ，记 的前n项和为 ，若 对任意 恒成立，求 的范围. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】（1）当 时， ， ， 当 时，由 ①， 得 ②，① ②得 ， 又 是首项为 ，公比为 的等比数列， ； （2）由 ，得 ， 所以 ， ， 两式相减得 ， 所以 ， 由 得 恒成立， 即 恒成立， 时不等式恒成立； 时， ，得 ； 时， ，得 ； 所以 . 11．（2021·全国高考真题（文））设 是首项为1的等比数列，数列 满足 ．已知 ， ， 成等差数列． （1）求 和 的通项公式； （2）记 和 分别为 和 的前n项和．证明： ． 【答案】（1） ， ；（2）证明见解析. 【解析】因为 是首项为1的等比数列且 ， ， 成等差数列， 所以 ，所以 ， 即 ，解得 ，所以 ， 所以 . （2）证明：由（1）可得 ， ，① ，② ① ②得 ， 所以 ， 所以 EMBED Equation.DSMT4 ， 所以 . 12．（2021·江苏高考真题）已知数列 满足 ，且 . （1）求证：数列 为等比数列； （2）求数列 的通项公式； （3）求数列 的前 项和 . 【答案】（1）见解