专题10 等差数列 -备战2022年高考数学一轮复习（真题+模拟）训练

专题10 等差数列 第一部分 真题部分 一、选择题 1．（2021·北京高考真题） 和 是两个等差数列，其中 为常值， ， ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知条件可得 ，则 ，因此， . 故选：B. 2．（2021·北京高考真题）数列 是递增的整数数列，且 ， ，则 的最大值为（ ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【解析】若要使n尽可能的大，则 ，递增幅度要尽可能小， 不妨设数列 是首项为3，公差为1的等差数列，其前n项和为 ， 则 ， ， ， 所以n的最大值为11. 故选：C. 3．（2020·浙江高考真题）已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差d≠0， ．记b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n， ，下列等式不可能成立的是（ ） A．2a4=a2+a6 B．2b4=b2+b6 C． D． 【答案】D 【解析】对于A，因为数列 为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由 可得， ，A正确； 对于B，由题意可知， ， ， ∴ ， ， ， ． ∴ ， ． 根据等差数列的下标和性质，由 可得 ，B正确； 对于C， ， 当 时， ，C正确； 对于D， ， ， ． 当 时， ，∴ 即 ； 当 时， ，∴ 即 ，所以 ，D不正确． 故选：D. 4．（2019·全国高考真题（理））记 为等差数列 的前n项和．已知 ，则 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题知， ，解得 ，∴ ，故选A． 二、填空题 5．（2021·江苏高考真题）已知等比数列 的公比为 ，且 ， ， 成等差数列，则 的值是___________. 【答案】4 【解析】因为 为等比数列，且公比为 ， 所以 ， 且 ， . 因为 ， ， 成等差数列， 所以 ， 有 ， ， 解得 . 故答案为： . 6．（2020·海南高考真题）将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________． 【答案】 【解析】因为数列 是以1为首项，以2为公差的等差数列， 数列 是以1首项，以3为公差的等差数列， 所以这两个数列的公共项所构成的新数列 是以1为首项，以6为公差的等差数列， 所以 的前 项和为 ， 故答案为： . 7．（2020·全国高考真题（文））记 为等差数列 的前n项和．若 ，则 __________． 【答案】 【解析】 EMBED Equation.DSMT4 是等差数列，且 ， 设 等差数列的公差 根据等差数列通项公式： 可得 即： 整理可得： 解得： 根据等差数列前 项和公式： 可得： EMBED Equation.DSMT4 . 故答案为： . 8．（2019·江苏高考真题）已知数列 是等差数列， 是其前n项和.若 ，则 的值是_____. 【答案】16. 【解析】由题意可得： ， 解得： ，则 . 9．（2019·全国高考真题（理））记Sn为等差数列{an}的前n项和， ，则 ___________. 【答案】4. 【解析】因 ，所以 ，即 ，所以 EMBED Equation.DSMT4 ． 三、解答题 10．（2021·天津高考真题）已知 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 是公比大于0的等比数列， ． （I）求 和 的通项公式； （II）记 ， （i）证明 是等比数列； （ii）证明 【答案】（I） ， ；（II）（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【解析】（I）因为 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 所以 ，所以 ， 所以 ； 设等比数列 的公比为 ， 所以 ，解得 （负值舍去）， 所以 ； （II）（i）由题意， ， 所以 ， 所以 ，且 ， 所以数列 是等比数列； （ii）由题意知， ， 所以 ， 所以 ， 设 ， 则 ， 两式相减得 ， 所以 ， 所以 . 11．（2021·全国高考真题）记 是公差不为0的等差数列 的前n项和，若 ． （1）求数列 的通项公式 ； （2）求使 成立的n的最小值． 【答案】(1) ；(2)7. 【解析】(1)由等差数列的性质可得： ，则： ， 设等差数列的公差为 ，从而有： ， ， 从而： ，由于公差不为零，故： ， 数列的通项公式为： . (2)由数列的通项公式可得： ，则： ， 则不等式 即： ，整理可得： ， 解得： 或 ，又 为正整数，故 的最小值为 . 12．（2021·全国高考真题）已知数列 满足 ， （1）记 ，写出 ， ，并求数列 的通项公式； （2）求 的前20项和. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】（1）由题设可得 又 ， ， 故 ，即 ，即 所以 为等差数列，故 . （2）设 的前 项和为 ，则 ， 因为 ， 所以 . 13