专题12 不等式选讲-2021年高考真题和模拟题数学（文）分项汇编（全国通用）

专题12 不等式选讲 1．（2021·全国高考真题（文））已知函数 ． （1）画出 和 的图像； （2）若 ，求a的取值范围． 【答案】（1）图像见解析；（2） 【分析】（1）分段去绝对值即可画出图像； （2）根据函数图像数形结和可得需将 向左平移可满足同角，求得 过 时 的值可求. 【详解】（1）可得 ，画出图像如下： ，画出函数图像如下： （2） ， 如图，在同一个坐标系里画出 图像， 是 平移了 个单位得到， 则要使 ，需将 向左平移，即 ， 当 过 时， ，解得 或 （舍去）， 则数形结合可得需至少将 向左平移 个单位， . 【点睛】关键点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解. 1．（2021·江西高三其他模拟（文））已知不等式 的解集为 （1）求 的值； （2）若 ， ，求 的最小值. 【答案】（1） ；（2）最小值为4. 【分析】（1）用零点分区间法去绝对值后直接解不等式即可得到m、n； （2）由（1）可得 把 转化为 ，利用基本不等式求最值. 【详解】解：（1）当 时，由 可得 ，解得 ，所以 当 时，由 可得 ，解得 ，所以 当 时，由 可得 ，解得 ，所以 综上所述，不等式 的解集为 ，则 （2）由（1）可得 所以 ， 当且仅当 ，即 时，等号成立， 的最小值为4. 【点睛】（1）含绝对值的函数问题处理方法：通过对x的范围的讨论去绝对值符号，转化为分段函数； （2）不等式的证明通常利用基本不等式、柯西不等式. 2．（2021·广西高三其他模拟（文））已知函数 ． （1）解不等式： ； （2）已知实数 满足：对 都有 ，若 ， ， 且 ，求 最小值． 【答案】（1） ；（2）12. 【分析】（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集； （2）由已知可知， 是函数 的最小值，求出即可得到 ，再利用柯西不等式求最小值，即可得到答案 【详解】（1） 当 时，由 得 ，则 ； 当 时，由 得 ，则 ； 当 时，由 ，则 ； 综上，不等式 的解集： . （2）已知对 都有 ，则 ， ， 则 在 上是减函数，在 上是增函数， 所以 ， ，即 ， 则 ， 当且仅当 ，即 ， ， 时等号成立， 所以 . 【点睛】方法点睛：常见的应用不等式求最值题型： “1”的代换：适用于已知两项的和为定值，求两项和的最小值； 二维不等式： ，当且仅当 时，等号成立； 一般形式： ，当且仅当 时，等号成立. 3．（2021·贵州黔东南苗族侗族自治州·凯里一中高三三模（文））已知函数 . （1）求不等式 的解集 ； （2）设 ， ， ， ，集合 中的最大元素为 ，且 ， ，求 的最小值. 【答案】（1） ；（2）最小值为 . 【分析】（1）用零点分段讨论求解即可； （2）由（1）知 ，进而由柯西不等式求解即可. 【详解】（1）不等式 可化为 ，或 ，或 ， 解得 ，或 ，或 ， 不等式 的解集 . （2）易知 ，所以 ， ， 由柯西不等式得 (当且仅当 时取等号)， ，即 ， 的最小值为 . 4．（2021·四川眉山市·仁寿一中高三其他模拟（文））已知函数 . （1）求函数 的取值范围； （2）若 的最小值为 ，且 EMBED Equation.DSMT4 ，求证： . 【答案】（1） ；（2）证明见解析. 【分析】（1）由绝对值不等式的性质可求得 的取值范围； （2）由基本不等式求得 ， ， 即可证明. 【详解】（1） 当且仅当 ，即 时取到等号， ∴g(x)的取值范围是 （2）由（1）问可知g(x)的最小值为1，∴ ， 因为 ，所以 ， 同理 ， ， 三个不等式相加得 即 ，当且仅当 时等号成立. 5．（2021·陕西西安市·西安中学高三其他模拟（文））已知函数 . (1)解不等式 ； (2)若方程 的解集为空集，求k的取值范围. 【答案】(1) ；(2) . 【分析】(1)把函数 化为分段函数形式，在各段上解不等式即可作答； (2)化方程为 ，作出函数 图象，利用数形结合的思想即可得解. 【详解】(1) ，则不等式 化为： 或 或 ，解得 或 或 ， 即 ，所以不等式 的解集为 ； (2) ，令 方程 解集为空集，即直线 与函数 图象无公共点，在同一坐标系内作出直线 和函数 图象，如图： 直线 是过原点的直线，当它过点A(4，2)时， ，当它与直线BC平行时， ， 观察图形知，当直线 在直线 和 所夹含x轴的对顶角区域(不包括直线 )内绕原点旋转时与函数 图象无公共点，即 ， 所以k的取值范围是 . 【点睛】方法点睛：绝对值不等式的解法： (1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； (2)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； (3)通过构造函