专题19 坐标系与参数方程及不等式选讲系列- 学易金卷：五年（2019-2023）高考数学真题分项汇编（全国通用）

五年（2019-2023）年高考真题分项汇编 专题19 坐标系与参数方程及不等式选讲系列 考点01 坐标系与参数方程 考点02 不等式选讲系列 考点01 坐标系与参数方程 1．(2023年全国甲卷理科)已知点，直线(t为参数)，为的倾斜角，l与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于A，B两点，且． (1)求； (2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l的极坐标方程． 【答案】(1) (2) 【解析】：(1)因为与轴，轴正半轴交于两点，所以， 令，，令，， 所以，所以， 即，解得， 因为，所以． (2)由(1)可知，直线的斜率为，且过点， 所以直线的普通方程为：，即， 由可得直线的极坐标方程为． 2 ．(2023年全国乙卷理科·第22题)在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线：(为参数，)． (1)写出的直角坐标方程； (2)若直线既与没有公共点，也与没有公共点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】：(1)因为，即，可得， 整理得，表示以为圆心，半径为1的圆， 又因为， 且，则，则， 故． (2) 因为(为参数，)， 整理得，表示圆心为，半径为2，且位于第二象限的圆弧， 如图所示，若直线过，则，解得； 若直线，即与相切，则，解得， 若直线与均没有公共点，则或， 即实数的取值范围． 3．(2022年高考全国乙卷数学(理))在直角坐标系中，曲线C的参数方程为，(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为． (1)写出l的直角坐标方程； (2)若l与C有公共点，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】：【小问1详解】 因为l：，所以， 又因为，所以化简为， 整理得l的直角坐标方程： 【小问2详解】 联立l与C的方程，即将，代入 中，可得， 所以， 化简为， 要使l与C有公共点，则有解， 令，则，令，， 对称轴为，开口向上， 所以， ， 所以 m的取值范围为． 4．（2022年高考全国甲卷数学(理)）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数），曲线的参数方程为（s为参数）． (1)写出的普通方程； (2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，求与交点的直角坐标，及与交点的直角坐标． 【答案】(1)； (2)的交点坐标为，，的交点坐标为，． 【分析】(1)消去，即可得到的普通方程； (2)将曲线的方程化成普通方程，联立求解即解出． 【详解】（1）因为，，所以，即的普通方程为． （2）因为，所以，即的普通方程为， 由，即的普通方程为． 联立，解得：或，即交点坐标为，； 联立，解得：或，即交点坐标为，． 5．(2021年高考全国甲卷)在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为． (1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)设点A直角坐标为，M为C上的动点，点P满足，写出Р的轨迹的参数方程，并判断C与是否有公共点． 【答案】(1)；(2)P的轨迹的参数方程为(为参数)，C与没有公共点． 【解析】：(1)由曲线C的极坐标方程可得， 将代入可得，即， 即曲线C的直角坐标方程为； (2)设，设 ， ， 则，即， 故P的轨迹的参数方程为(为参数) 曲线C的圆心为，半径为，曲线的圆心为，半径为2， 则圆心距为，，两圆内含， 故曲线C与没有公共点． 6 （2021·全国·统考高考乙卷真题）在直角坐标系中，的圆心为，半径为1． （1）写出的一个参数方程; （2）过点作的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程． 【答案】（1），（为参数）； （2）和． 【分析】（1）直接利用圆心及半径可得的圆的参数方程； （2）先求得过（4，1）的圆的切线方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式化简即可. 【详解】（1）由题意，的普通方程为， 所以的参数方程为，（为参数） （2）[方法一]：直角坐标系方法 ①当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线的距离为，故舍去． ②当切线斜率存在时，设其方程为，即． 故，即，解得． 所以切线方程为或． 两条切线的极坐标方程分别为和． 即和． [方法二]【最优解】：定义求斜率法 如图所示，过点F作的两条切线，切点分别为A，B．    在中，，又轴，所以两条切线的斜率分别和． 故切线的方程为，，这两条切线的极坐标方程为和． 即和． 7．（2020年高考课标Ⅰ卷）在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． （1）当时，是什么曲线？ （2）当时，求与的公共点的直角坐标． 【答案】（1）曲线表示以坐标原点为