专题11 坐标系与参数方程-2021年高考真题和模拟题数学（文）分项汇编（全国通用）

专题11 坐标系与参数方程 1．（2021·江苏高考真题）以抛物线 的焦点为圆心，且与直线 ( 为参数）相切的圆的标准方程是____________. 【答案】 【分析】将抛物线方程化为标准方程,直线参数方程化为普通方程,结合点到直线的距离公式求得圆的半径,进而得答案. 【详解】解：将抛物线方程化为标准方程得 ，所以焦点坐标为 ， 将直线的参数方程化为普通方程得 ， 所以点 到直线 的距离为 ， 所以所求圆的方程为 . 故答案为： 2．（2021·全国高考真题（文））在直角坐标系 中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 ． （1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）设点A的直角坐标为 ，M为C上的动点，点P满足 ，写出Р的轨迹 的参数方程，并判断C与 是否有公共点． 【答案】（1） ；（2）P的轨迹 的参数方程为 （ 为参数），C与 没有公共点. 【分析】（1）将曲线C的极坐标方程化为 ，将 代入可得； （2）设 ，设 ，根据向量关系即可求得P的轨迹 的参数方程，求出两圆圆心距，和半径之差比较可得. 【详解】（1）由曲线C的极坐标方程 可得 ， 将 代入可得 ，即 ， 即曲线C的直角坐标方程为 ； （2）设 ，设 EMBED Equation.DSMT4 ， ， 则 ，即 ， 故P的轨迹 的参数方程为 （ 为参数） 曲线C的圆心为 ，半径为 ，曲线 的圆心为 ，半径为2， 则圆心距为 ， ， 两圆内含， 故曲线C与 没有公共点. 【点睛】关键点睛：本题考查参数方程的求解，解题的关键是设出 的参数坐标，利用向量关系求解. 1．（2021·上海普陀区·高三其他模拟）已知直线l的参数方程是 （ ， 为参数），则直线l的倾斜角的大小为___________. 【答案】110° 【分析】把直线的参数方程转换成标准式即可直接得出结果. 【详解】解：直线l的参数方程是 （ ， 为参数）， 转换为标准式为 (t为参数)， 所以直线的倾斜角为110°， 故答案为：110°. 2．（2021·贵州黔东南苗族侗族自治州·凯里一中高三三模（文））在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 ( 为参数， 为直线的倾斜角)，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程 . （1）求曲线 的直角坐标方程； （2）已知点 ，直线 与曲线 交于 ､ 两点，与 轴交于 点，若 ，求直线 的普通方程. 【答案】（1） ；（2） 或 . 【分析】（1）化简 ，然后根据 代入化简即可. （2）分别假设点 所对应的参数，然后直线参数代入（1）中的直角坐标方程，结合韦达定理，然后计算即可. 【详解】（1）由 可得 ， ，由 ， 曲线 的直角坐标方程是 . （2）设 ､ 两点对应的参数分别为 ､ ， 联立直线 的参数方程与曲线 的普通方程，整理得 ， ， 设点 对应的参数为 ，由 ，可得 ， 由 得 ， 即 ， ， ，即 ， 直线 的斜率 ， 故直线 的方程为 或 . 3．（2021·陕西高三其他模拟（文））在极坐标系中，曲线 的方程为 ，以极点为直角坐标系的原点，极轴为 轴正半轴建立直角坐标系 （1）求曲线 的直角坐标方程，并说明 是什么曲线； （2）直线 的参数方程为 为参数， ，点 的直角坐标为 ，直线 与曲线 交于 两点，求 的最大值. 【答案】（1） ；曲线 是以 为圆心，半径为2的圆；（2）2. 【分析】（1）化简极坐标方程，将极坐标与直角坐标方程的转化公式 ，代入求得直角坐标方程，并描述曲线； （2）联立直线的参数方程与圆的直角坐标方程，根据参数方程的几何意义，求出问题的表达式，从而求得最大值. 【详解】（1） 由 知， ，即 曲线 是以 为圆心，半径为2的圆； （2）联立 ，化简得 则由韦达定理知 ， 则由直线的参数方程几何意义知，设 ， ， 则 ， 由 ，当且仅当 时，取得最大值2. 4．（2021·山西太原市·太原五中高三二模（文））平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ( 为参数)，以坐标原点 为极点，以 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 . （1）写出曲线 的普通方程和直线 的直角坐标方程； （2）若直线 与曲线 交于 ， 两点，点 ，求 的值. 【答案】（1） 的普通方程 ， 的直角坐标方程为 ；（2） . 【详解】解：（1）曲线 的参数方程为 ， 消去参数 得曲线 的普通方程 . ∵ ， ∴ . 又 ， ∴直线 的直角坐标方程为 . （2）法一：设直线 的参数方程为 ( 为参数，将其代入曲线 的直角坐标方程化简得 ， ∴ ， . ∴ . 法二：由 ， 化简得 ， 则 ， . 从而 ， . ∴ . （1）直接利用转换关系，在参数方程､极坐标方程和直角坐标方程