知识点05 不等式的基本性质-2021-2022学年高一数学同步精品课堂讲+例+测（苏教版2019必修第一册）

2021-2022学年高一数学+同步精品课堂讲、例、测（苏教版2019必修第一册） 知识点5不等式的基本性质 讲 教材知识梳理 不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc c的符号 a>b，c<0⇒ac<bc 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N*) 同正 利用不等式的性质证明不等式注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用． (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则． 作差法比较两个实数大小的基本步骤： 例 例题研究 一、不等式的性质 题型探究 例题1 设，且，则下列各不等式中恒成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质，逐项检验，即可判断结果. 【详解】 对于选项A，若，显然不成立； 对于选项B，若，显然不成立； 对于选项C，若，显然不成立； 对于选项D，因为，所以，故正确. 故选:D. 【考点】考查了不等式的性质 例题2 已知，且.下列不等式中成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由和，得，根据不等式的性质可得选项. 【详解】 ，且， ，. 故选:B. 【考点】考查不等式的性质的运用 跟踪训练 训练1 若，则下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的性质逐一判断可得答案． 【详解】 对于A，可得，错误； 对于B，当时，，错误； 对于C，可得，错误； 对于D，可得，正确； 故选：D 训练2 若a＞0，b＞0，且a+b=4，则下列不等式中恒成立的是 A．＞ B．+≤1 C．≥2 D．≤ 【答案】D 【详解】由题设知ab≤，所以，，，==≤，由此能够排除选项A、B、C，从而得到正确选项． 解：∵a＞0，b＞0，且a+b=4， ∴ab≤， ∴，故A不成立； ，故B不成立； ，故C不成立； ∵ab≤4，a+b=4，∴16﹣2ab≥8， ∴==≤，故D成立． 故选D． 【考点】基本不等式． 2、 作差法比较大小 题型探究 例题1 已知a1∈(0，1)，a2∈(0，1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是（ ） A．M<N B．M>N C．M＝N D．M≥N 【答案】B 【分析】利用作差法进行求解． 【详解】 因为a1∈(0，1)，a2∈(0，1)，所以－1<a1－1<0，－1<a2－1<0，所以M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)>0，所以M>N， 故选：B. 【考点】考查大小的比较，利用作差法进行求解 例题2 6．某单位计划今明两年购买某物品，现有甲、乙两种不同的购买方案，甲方案：每年购买的数量相等；乙方案：每年购买的金额相等，假设今明两年该物品的价格分别为、，则这两种方案中平均价格比较低的是（ ） A．甲 B．乙 C．甲、乙一样 D．无法确定 【答案】B 【分析】分别计算出两种方案的平均价格，然后利用作差法可得出结论. 【详解】 对于甲方案，设每年购买的数量为，则两年的购买的总金额为， 平均价格为； 对于乙方案，设每年购买的总金额为，则总数量为， 平均价格为. 因为，所以，. 因此，乙方案的平均价格较低. 故选：B. 【点睛】方法点睛：比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一 跟踪训练 训练1 小茗同学的妈妈是吉林省援鄂医疗队的队员，为了迎接凯旋归来的英雄母亲，小茗准备为妈妈献上一束鲜花．据市场调查，已知6枝玫瑰花与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰花与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰花的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是（ ） A．3枝康乃馨价格高 B．2枝玫瑰花价格高 C．价格相同 D．不确定 【答案】B 【分析】设1枝玫瑰和1枝康乃馨的价格分别元，由题意可得：，令，根据待定系数法求得，借助不等式性质即可证得. 【详解】 设1枝玫瑰和1枝康乃馨的价格分别元，由题意可得：， 令， 则，解得： ， 因此. 所以2枝玫瑰的价格高. 故选：B 【考点】考查不等关系与不等式性质，考查不等式比较大小的问题 训练2 如果, 设, 那