专题2 函数第2讲 函数的单调性 2022届高考数学一轮复习讲解

第2讲 函数的单调性 Ⅰ 考 点 解 读 知识点一：函数单调性的概念 1.传统定义 ①图象趋势：增函数（上升趋势）；减函数（下降趋势） ②数值关系：增函数（随着x的增大，相应的y值增大）；减函数（随着x的增大，相应的y值减小） 注意：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观的认识，但不够精确. 2.现代定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内给定区间上的任意两个自变量的值x1，x2， ①当x1＜x2时，若都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数在这个区间上单调递增； ②当x1＜x2时，若都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数在这个区间上单调递减. 注意：⑴函数单调性的定义本质上是两个不等式的关系，即自变量不等式和函数值不等式. 当两个不等式为同向不等式时，即为单调递增；当两个不等式为异向不等式时，即为单调递减. ⑵两个自变量的值x1，x2必须符合“同区间、任意性、有大小”，三者缺一不可. ⑶函数的单调性是一个局部性质（函数的单调性是对于定义域内的某个子区间而言的）. 有些函数在整个定义域内可能是单调的，如一次函数； 有些函数在定义域内的部分区间上是增函数，而在另一部分区间上可能是减函数，如二次函数； 有些函数是非单调的，如常数函数. 知识点二：证明函数单调性 1.原理：在现阶段，证明函数的单调性只能用定义法，即必须符合两个不等式才可得出单调性的结论. 2.基本思路：①在所证区间内先设出两个自变量的关系式，通常设为x1＜x2，此时即可得到一个自变量不等式； ②再根据函数解析式写出f(x1)－f(x2)的形式，通过一系列的变形，达到能够判断该式正负的目的， 即可得到一个函数值不等式； ③最终根据两不等式的方向(同向还是异向)即可确定出单调性. 3.方法总结：在证明函数单调性的过程中，关键在于如何对f(x1)－f(x2)进行合理的变形，使其可以判断正负. 一般情况下，常见的有以下三种类型： （1）整式型：该类型可直接对式子进行因式分解，使其变形为多个因式相乘的形式. （2）分式型：该类型可先对式子进行通分，再对式子进行整理变形. （3）根式型：该类型可先对分子进行有理化，再对式子进行整理变形. 知识点三：求函数的单调区间 1.定义法：用定义法来求单调区间与证明单调性的步骤基本相同，注意在无法直接得出化简式的正负时需分类. 2.基本函数法：（1）掌握常见基本函数的性质：①一次函数：f(x)＝kx＋b； ②二次函数：f(x)＝ax2＋bx＋c； ③反比例函数：f(x)＝ EQ \F(k,x). （2）掌握常见函数变换的性质：①函数y＝－f(x)与函数y＝f(x)的单调性相反； ②函数y＝ EQ \F(1,f(x))与函数y＝f(x)的单调性相反(f(x)恒为正或恒为负)； ③增函数＋增函数＝增函数， 减函数＋减函数＝减函数. 特殊：增函数－减函数＝增函数 (同增即增，同减即减；增减都有，无法确定) 3.图象法：（1）掌握常见基本函数的图象：①一次函数；②二次函数；③反比例函数. （2）掌握常用的图象变换方法：①平移；②对称；③翻折；④伸缩. 知识点四：函数单调性的应用 1.利用函数单调性比较大小 2.利用函数单调性解不等式 3.利用函数单调性确定值域 4.利用函数单调性求参数的取值范围 Ⅱ 解 题 模 板 题型一：证明函数单调性问题 例1：求证：函数f(x)＝ EQ \F(1,x)在(0，＋∞)上单调递减. 例2：(1)求证：函数f(x)＝x2＋4x－3在(－∞，－2]上单调递减. (2)求证：函数f(x)＝－x3＋1在(－∞，＋∞)上单调递减. 例3：求证：函数f(x)＝2 EQ \R(,x＋1)－3在[－1，＋∞)上单调递增. 题型二：求函数单调区间问题 例1：求函数f(x)＝x＋ EQ \F(1,x)在(0，＋∞)上的单调区间. 例2：求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝－x2＋3x－2 (2) f(x)＝3|x|＋1 例3：求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝－x2＋2|x|＋3 (2) f(x)＝|x2－4x＋3| 题型三：函数单调性的应用 1.利用函数单调性比较大小 例1：已知a，b，c，d∈R，且a＜0，6a＋b＜0，f(x)＝ax2＋bx＋c，比较f(3)与f(π)的大小. 2.利用函数单调性解不等式 例2：已知f(x)是定义在[－1，1]上的增函数，且f(x－1)＜f(x2－1)，求x的取值范围. 3.利用函数单调性确定值域 例3：求函数f(x)＝x－ EQ \R(,1－2x)的值域. 4.利用函数单调性求参数的取值范围 例4：(1)已知函数f(x)＝x2－2(1－a)x＋2在(－∞，4