专题2 函数第8讲 函数与方程 2022届高考数学一轮复习讲解

第8讲 函数与方程 Ⅰ 考 点 解 读 知识点一：函数的零点 1.函数零点的定义 对于函数y＝f(x)，我们把满足f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 2.等价关系 “函数f(x)的零点” “方程f(x)＝0的根” “函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标” 注意：y＝f(x)是函数，f(x)＝0是方程，须注意区分函数与方程. 3.零点存在性定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，则函数y＝f(x)在区间 (a，b)上存在零点． 注意：“零点存在性定理”是零点存在的充分条件，而非必要条件. 这是因为：若函数f(x)的图象在x＝x0处与x轴相切，则零点x0通常称为“不变号零点”； 若函数f(x)的图象在x＝x0处与x轴相交，则零点x0通常称为“变号零点”． 而只有变号零点才遵循零点存在性定理． 4.重要结论 （1）若连续不间断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点； （2）连续不间断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号； （3）连续不间断的函数图象通过零点时，函数值符号可能会变，也可能不变． 知识点二：一元二次方程的根的分布 方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0) 分布 与数值的位置关系 与区间的位置关系 两根 同小于m 两根 同大于m 一根大于m 一根小于m 一根在(m，n)内 两根在(m，n)内 一根在(m，n)内 一根在(n，p)内 形式 x1＜x2＜m m＜x1＜x2 x1＜m＜x2 m＜x1＜n m＜x1＜x2＜n m＜x1＜n＜x2＜p 图象 满足条件 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＞0,－\f(b,2a)＜m,f(m)＞0)) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＞0,－\f(b,2a)＞m,f(m)＞0)) f(m)＜0 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝0,m＜－\f(b,2a)＜n)) 或 f(m)·f(n)＜0 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＞0,m＜－\f(b,2a)＜n,f(m)＞0,f(n)＞0)) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f(m)＞0,f(n)＜0,f(p)＞0)) 注意：①根的分布的决定因素为三方面：ⅰ判别式、ⅱ对称轴、ⅲ端点值，本质上都是从此三方面分析的. ②此表的所有类型都是以a＞0(开口向上)为例讨论的，a＜0(开口向下)时同理讨论即可. ③在与数值的位置关系类分布时，当m＝0时，也可考虑用“韦达定理”来判断. Ⅱ 解 题 模 板 题型一：函数零点区间的判断 例1：函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是（ ） A.(－2，－1) B.(－1，0) C.(0，1) D.(1，2) 例2：已知函数f(x)＝eq \f(6,x)－log2 x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是（ ） A.(0，1) B.(1，2) C.(2，4) D.(4，＋∞) 例3：若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间（ ） A.(a，b)和(b，c)内 B.(－∞，a)和(a，b)内 C.(b，c)和(c，＋∞)内 D.(－∞，a)和(c，＋∞)内 例4：已知函数f(x)＝ln x＋x－2，g(x)＝xln x＋x－2在(1，＋∞)上都有且只有一个零点，f(x)的零点为x1，g(x)的零点为x2，则（ ） A.1＜x2＜x1＜2 B.1＜x1＜x2＜2 C.1＜x1＜2＜x2 D.2＜x2＜x1 例5：已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋ln x，h(x)＝x－eq \r(x)－1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是________________． 规律总结：判断函数在某区间上是否存在零点的方法： ①解方程法：当对应方程易解时，可通过解方程，看方程是否有根落在给定区间上． ②零点存在性定理法：利用函数零点的存在性定理判断函数零点所在的区间，应分别计算各区间 端点对应的函数值，并判断其正负号，即可判断． ③数形结合法：画出函数的图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 题型二：函数零点个数的判断 例1：函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2， x≤0,2x－6＋ln x，x＞0))的零点个数是________