专题2 函数第6讲 指数函数和对数函数 2022届高考数学一轮复习讲解

腾飞教育 中高考个性化辅导中心 第6讲 指数函数和对数函数 Ⅰ 考 点 解 读 知识点一：函数的定义 1.指数函数：形如f(x)＝ax (a＞0，a≠1)的函数叫做指数函数. 2.对数函数：形如f(x)＝loga x (a＞0，a≠1)的函数叫做对数函数. 知识点二：函数的图象与性质 指数函数 0＜a＜1 a＞1 图象 性质 定义域：R 值域：(0，＋∞) 过定点(0，1) 当x＞0时，0＜y＜1； 当x＜0时，y＞1 当x＞0时，y＞1； 当x＜0时，0＜y＜1 在R上是减函数 在R上是增函数 判底线：x＝1 对数函数 0＜a＜1 a＞1 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 过定点(1，0) 当x＞1时，y＜0； 当0＜x＜1时，y＞0 当x＞1时，y＞0； 当0＜x＜1时，y＜0 在(0，＋∞)上是减函数 在(0，＋∞)上是增函数 判底线：y＝1 Ⅱ 解 题 模 板 题型一：定义域问题 例1：求指数函数的定义域：(1) (2) (3) 例2：求对数函数的定义域：(1) (2) (3) 题型二：指数函数的图象与性质 例1：函数y＝ax－eq \f(1,a)(a＞0，a≠1)的图象可能是（ ） 例2：已知函数y＝kx＋a的图象如右图所示，则函数y＝ax＋k的图象可能是（ ） 例3：若x＞0时，函数y＝(a－8)x的值恒大于1，求实数a的取值范围． 例4：已知方程|3x－1|＝k有两个解，求实数k的取值范围． 例5：已知函数f(x)＝ax (a＞0，a≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)eq \r(x)在 [0，＋∞)上是增函数，求a的值． 题型三：对数函数的图象与性质 例1：若函数y＝loga x(a＞0，且a≠1)的图象如右图所示，则下列函数图象正确的是（ ） 例2：函数f(x)＝2ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象的交点个数为（ ） A.3 B.2 C.1 D.0 例3：若函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x＋6， x≤2,3＋loga x，x＞2))(a＞0，a≠1)的值域是[4，＋∞)，求实数a的取值范围． 例4：已知0＜x≤eq \f(1,2)时，4x＜loga x，求实数a的取值范围． 例5：已知函数f(x)＝|log2 x|，正实数m，n满足m＜n，且f(m)＝f(n).若f(x)在区间[m2，n]上的最大值为2，求此时m，n的值. 题型四：比较大小问题 例1：指数比较：(1) (2) (3) 例2：对数比较：(1) (2) (3) 例3：已知a＝ ，b＝log2 eq \f(1,3)，c＝logeq \s\do9(\f(1,2)) eq \f(1,3)，比较a、b、c的大小. 例4：设a＝log3 6，b＝log5 10，c＝log7 14，比较a、b、c的大小. 规律总结：指数与对数的比较大小问题通常有三种类型： ①“底数相同”，此类型可利用函数单调性比较； ②“自变量相同”，此类型可利用函数图象比较(用判底线画图象)； ③“底数与自变量都不相同”，此类型可利用中间值比较(0或1). 若题中未直接体现此三种类型时，可先对式子进行化简，化简后可应用这三种类型. 题型五：复合函数问题 例1：(1)求函数 的值域和单调区间. (2)求函数 的值域和单调区间. 例2：(1)若x∈[0，2]，求 的取值范围. (2)若函数 的值域为[1，7]，求x的取值范围. 例3：已知x∈[1，8]，求函数f(x)＝log2eq \f(x,2)∙log2eq \f(x,4)的值域． 例4：(1)已知函数f(x)＝lg(x2＋2x＋a)的定义域为R，求a的取值范围． (2)已知函数f(x)＝lg(x2＋2x＋a)的值域为R，求a的取值范围． 例5：已知a＞0且a≠1，若函数f(x)＝loga(ax2－x)在[3，4]上是增函数，求a的取值范围． 例6：已知方程(eq \f(1,4))x＋(eq \f(1,2))x－1＋a＝0有正根，求实数a的取值范围． 第6讲 指数函数和对数函数 题型一：定义域问题 1.(1)R；(2)[－2，4]；(3)R 2.(1)(－∞，－1)∪(5，＋∞)；(2)( EQ \F(3,4)，1]；(3)(－∞，2) 题型二：指数函数的图象与性质 1.D 2.B 3. a＞9 4. 0＜k＜1 5. a＝ EQ \F(1,4) 题型三：对数函数的图象与性质 1.B 2.B 3. 1＜a≤2 4. EQ \R(,2)