专题20 利用等高线求范围-2022年高考数学优拔尖必刷压轴题（选择题、填空题）（新高考地区专用）

专题20 利用等高线求范围 【方法点拨】 1. 函数在两点或两点以上点处的函数值相等,我们称之为等高线,此类题常以求取值范围的形式出现,其基本方法是”减元”,即充分利用函数值相等这一条件实施”消元”. 2. 对于函数，若存在正数，满足，则，且. 3. 等高线问题重在”减元”,要充分利用“函数值相等”，树立目标意识，预设“消谁留谁”， 利用“函数值相等”的逆向使用，探究出自变量间的等量关系. 【典型题示例】 例1 已知函数，方程有四个不相等的实数根，，，，则的最小值为　 　． 【答案】50 【分析】设<<<，则，，，且 令 则 故当时， 所以的最小值为50. 例2 已知函数，若存在实数满足，则的取值范围为________. 【答案】 【分析】由得（），即，代入，设，问题转化为求取值范围问题，利用导数知识易得. 【解析】作出函数的图像如下图所示： 若存在实数满足， 根据图像可得， 所以，即，则， 令， 当时，，在区间上单调递增， ，， 所以，即. 例3 设函数，若互不相等的实数a，b，c满足，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 画出函数的图象，不妨令，则．结合图象可得，从而可得结果． 【详解】 画出函数的图象如图所示． 不妨令，则，则． 结合图象可得，故． ∴． 故选：D． 【巩固训练】 1. (多选题)已知函数，若，且，则下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 2. 已知函数，若存在，使得（a）（b）（c），则的最小值为　　 A． B．1 C． D．无最小值 3.已知函数存在三个互不相等的正实数a,b,c且a<b<c时有f(a)= f(b)= f(c)，则取值范围是 . 4.已知函数，若，且 ，则 . 5.已知函数若且，则的取值范围是_________. 6.已知函数若存在，当时，，则的取值范围是 . 7.已知函数若存在，当时，， 则的取值范围是 ． 8. 已知函数f(x)＝若互不相等的实数a，b，c满足f(a)＝f(b)＝f(c)，则2a＋2b＋2c的取值范围为________． 9.已知函数 若存在实数，满足，则的最大值是 ． 10.已知函数若互不相等，且则的取值