专题19 利用图象求解函数零点问题-2022年高考数学优拔尖必刷压轴题（选择题、填空题）（新高考地区专用）

专题19 利用图象求解函数零点问题 【方法点拨】 1.函数的零点就是函数图象与x轴交点的横坐标，解决实际问题时，往往需分离函数，将零点个数问题转化为两个函数图象交点个数问题，将零点所在区间问题，转化为交点的横坐标所在区间问题. 2.利用图象法解决零点问题，分离函数的基本策略是：一静一动，一直一曲，动直线、静曲线. 3. 利用图象法解决零点问题时，作图时要注意运用导数等相关知识分析函数的单调性、奇偶性、以及关键点线（如渐进线），以保证图像的准确. 【典型题示例】 例1 已知函数若函数 （）恰有4个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】由，结合已知，将问题转化为与有个不同交点，分三种情况，数形结合讨论即可得到答案. 【解析】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根即可， 令，即与的图象有个不同交点. 因为， 当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意； 当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意； 当时，如图3，当与相切时，联立方程得， 令得，解得（负值舍去），所以. 综上，的取值范围为. 故选：D. 点评： 本题是一道由函数零点个数求参数的取值范围的问题，其基本思路是运用图象，将零点个数问题转化为两函数图象交点个数，考查函数与方程的应用、数形结合思想、转化与化归思想、导数知识、一元二次方程、极值不等式、特值等进行分析求参数的范围. 例2 已知函数，若函数有三个零点，则实数k的取值范围是__________． 【答案】 【解析】作与图象， 由得 由得，对应图中分界线①; 由过点得，对应图中分界线②； 当与相切于时，因为，所以，对应图中分界线③； 因为函数有三个零点，所以实数k的取值范围是 故答案为： 例3 已知函数与的零点分别为 和．若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将问题转化为函数与函数和交点的大小问题，作出函数图像，观察图像可得结果. 【解析】由，得， 对于函数，在上单调递增，在上单调递减， 由，得， 对于，得在上单调递增，在上单调递减，最大值为，其图像如图， 令得， 要，则直线要在点下方， ， ∴实数的取值范围是． 例4 已知函数，若函数有且仅有四个不同的零点，则实数k的取值范围是 ． 【答案】(27，+∞) 【解析