专题12 三角形四边形压轴-5年（2017-2021）中考1年模拟数学分项汇编（广东省卷专用）

专题12 三角形四边形压轴 一、单选题 1．（2017•广东）如图， 已知正方形，点是边的中点，与相交于点，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是　　 A ．①③ B ．②③ C ．①④ D ．②④ 【解答】解：四边形是正方形， ，，， 在和中， ， ， ，故①正确， ，， ， ，，， 故②③错误④正确， 故选：． 2．（2019•广东）如图，正方形的边长为4，延长至使，以为边在上方作正方形，延长交于，连接，，为的中点，连接分别与，交于点、：则下列结论： ①； ②； ③； ④．其中正确的结论有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：四边形是正方形，， ，， 四边形是正方形，为的中点， ，， ， ，， ， ，故①正确； ， ， ， ， ，故②错误； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ；故③正确； 延长交于， 四边形是矩形， ， ，， 故④正确， 故选：． 二、填空题 3．（2021•广东）如图，在中，，，．过点作，垂足为，则　　． 【解答】解：如图，过点作于点， ，，， ， ， 在中，，， ， ， ，， ， ， ， 在中，根据勾股定理，得 ， ， 解得，， ． 故答案为：． 4．（2021•广东）在中，，，．点为平面上一个动点，，则线段长度的最小值为 　　． 【解答】解：如图所示． ，，作的外接圆（因求最小值，故圆心在的右侧），连接， 当、、三点共线时，的值最小． ， ， 为等腰直角三角形， ． ，， ，作于点， 为等腰直角三角形． ， ， 在中， ． 当、、三点共线时， 最小为． 故答案为：． 5．（2017•广东）如图，矩形纸片中，，，先按图（2）操作：将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为；再按图（3）操作，沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，折痕为，则、两点间的距离为　　． 【解答】解：如图3中，连接． 由题意可知在中，，， ， 故答案为． 6．（2020•广东）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，，点，分别在射线，上，长度始终保持不变，，为的中点，点到，的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离的最小值为　　． 【解答】解：如图，连接，． 由题意， ，，， ， 点的运动轨迹是以为圆心，2为半径的弧， 当点落在线段上时，的值最小， 的最小值为．（也可以用，即确定最小值） 故答案为． 三、解答题 7．（2017•广东）如图，在平面直角坐标系中，为原点，四边形是矩形，点，的坐标分别是和，，点是对角线上一动点（不与，重合），连接，作，交轴于点，以线段，为邻边作矩形． （1）填空：点的坐标为　，　； （2）是否存在这样的点，使得是等腰三角形？若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由； （3）①求证：； ②设，矩形的面积为，求关于的函数关系式（可利用①的结论），并求出的最小值． 【解答】解：（1）四边形是矩形， ，，， ，． 故答案为，． （2）存在．理由如下： ，， ， ， ①如图1中，当在线段上时，是等腰三角形，观察图象可知，只有， ， ， 是等边三角形， ， 在中，，， ， ． 当时，是等腰三角形． ②如图2中，当在的延长线上时，是等腰三角形，只有，， ， ， 综上所述，满足条件的的值为2或． （3）①如图1， 过点作交于，交于， 和，， 直线的解析式为， 设， ， ， ，， ，， ， ． ②如图2中，作于． 在中，，， ，， ， 在中，， ， 矩形的面积为， 即， ， ， 时，有最小值． 8．（2018•广东）已知，，，斜边，将绕点顺时针旋转，如图1，连接． （1）填空：　60　； （2）如图1，连接，作，垂足为，求的长度； （3）如图2，点，同时从点出发，在边上运动，沿路径匀速运动，沿路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点的运动速度为1.5单位秒，点的运动速度为1单位秒，设运动时间为秒，的面积为，求当为何值时取得最大值？最大值为多少？ 【解答】解：（1）由旋转性质可知：，， 是等边三角形， ． 故答案为：60． （2）如图1中， ，， ，， ， 是等边三角形， ，， ， ． （3）①当时，在上运动，在上运动，此时过点作且交于点． 则， ， ． 时，有最大值，最大值． ②当时，在上运动，在上运动． 作于．则，， ． 当时，取最大值，， ③当时，、都在上运动，作于． ，， ， 当时，有最大值， ， 最大值， 综上所述，有最大值，最大值为． 9．（2021•广东）如图，边长为1的正方形中，点为的中点．连接，将沿折叠得到，交于点，求的长． 【解答】解：延长交于，连接． 四边形是正方形， ，，， ， 由翻折的性质可知，，，， 点