专题08 函数压轴-5年（2017-2021）中考1年模拟数学分项汇编（广东省卷专用）

专题08 函数压轴 一、单选题 1．（2021•广东）设为坐标原点，点、为抛物线上的两个动点，且．连接点、，过作于点，则点到轴距离的最大值　　 A． B． C． D．1 【解答】解：如图，分别作、垂直于轴于点、， 设，，由抛物线解析式为， 则，， 作于，交轴于点，连接交轴于点， 设点， ， ， ，即． 化简得：． ， ， 又， ， 又， ． ， 即， 化简得． 则，说明直线过定点，点坐标为． ，， 点是在以为直径的圆上运动， 当点到轴距离为时，点到轴距离的最大． 故选：． 二、填空题 2．（2018•广东）如图，已知等边△，顶点在双曲线上，点的坐标为．过作交双曲线于点，过作交轴于点，得到第二个等边△；过作交双曲线于点，过作交轴于点，得到第三个等边△；以此类推，，则点的坐标为　，　． 【解答】解：如图，作轴于点，设，则， ，． 点在双曲线上， ， 解得，或（舍去）， ， 点的坐标为，； 作轴于点，设，则， ，，． 点在双曲线上， ， 解得，或（舍去）， ， 点的坐标为，； 同理可得点的坐标为，即； 以此类推， 点的坐标为，， 点的坐标为，． 故答案为，． 三、解答题 3．（2021•广东）已知二次函数的图象过点，且对任意实数，都有． （1）求该二次函数的解析式； （2）若（1）中二次函数图象与轴的正半轴交点为，与轴交点为；点是（1）中二次函数图象上的动点．问在轴上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）不妨令，解得：， 当时，． 必过， 又过， ，解得：， ， 又， ， 整理得：， 且△， ， ， ，，． 该二次函数解析式为． （2）令中，得，则点坐标为； 令，得，则点坐标为． 设点坐标为，， 根据平行四边对角线性质以及中点坐标公式可得： ①当为对角线时，， 即，解得：（舍去），， ，即． ②当为对角线时，， 即，解得：（舍去），， ，即． ③当为对角线时，， 即，解得：，， 或， ，，，． 综上所述，点坐标为或或，或，． 4．（2020•广东）如图，抛物线与轴交于，两点，点，分别位于原点的左、右两侧，，过点的直线与轴正半轴和抛物线的交点分别为，，． （1）求，的值； （2）求直线的函数解析式； （3）点在抛物线的对称轴上且在轴下方，点在射线上．当与相似时，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【解答】解：（1）， 点，点， 抛物线解析式为：， ，； （2）如图1，过点作于， ， ， ，， ， ， 点横坐标为， 点坐标为，， 设直线的函数解析式为：， 由题意可得：， 解得：， 直线的函数解析式为； （3）点，点，点，， ，，，对称轴为直线， 直线与轴交于点， 点， ， ， ， 如图2，过点作于， ， ， ， ， 如图，设对称轴与轴的交点为，即点， 若， ，， ，， 当， ， ， 点，； 当， ， ， 点，； 若， ，， 当， ， ， 点，； 当， ， ， 点，； 综上所述：满足条件的点的坐标为，或，或，或，． 5．（2020•广东）如图，点是反比例函数图象上一点，过点分别向坐标轴作垂线，垂足为，．反比例函数的图象经过的中点，与，分别相交于点，．连接并延长交轴于点，点与点关于点对称，连接，． （1）填空：　2　； （2）求的面积； （3）求证：四边形为平行四边形． 【解答】解：（1）设点，，则点，， 则， 故答案为2； （2）连接， 则的面积的面积； （3）设点，则点， 点与点关于点对称，故点， 则点， 设直线的表达式为：，将点、的坐标代入上式得并解得： 直线的表达式为：，令，则，故点， 故，而， 又， 故四边形为平行四边形． 6．（2018•广东）如图，已知顶点为的抛物线与轴交于，两点，直线过顶点和点． （1）求的值； （2）求函数的解析式； （3）抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）将代入， 可得：； （2）将代入得：， 所以点的坐标为， 将、代入中， 可得：， 解得：， 所以二次函数的解析式为：； （3）存在，分以下两种情况： ①若在上方，设交轴于点，则， ， 设为，代入，，可得：， 联立两个方程可得：， 解得：， 所以，； ②若在下方，设交轴于点，则， ， ， 设为，代入，可得：， 联立两个方程可得：， 解得：， 所以，， 综上所述的坐标为，或，． 7．（2017•广东）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，点是抛物线上在第一象限内的一点，直线与轴相交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）当点是线段的中点时，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，求的值． 【解答】解：（1）将点、代入抛物线可得， ， 解得，，， 抛物线的解析式为：； （2）点在轴上， 所以点横坐标