3.4 方差-【帮课堂】2021-2022学年九年级数学上册同步精品讲义（苏科版）

第3章 数据的集中趋势和离散程度 3.4 方差 目标导航 课程标准 课标解读 1.了解极差、方差和标准差的意义和求法，体会它们刻画数据波动的不同特征； 2.学会用极差、方差与标准差来处理数据．并用它们来解决实际问题. 1. 了解方差的定义和计算公式。 2. 理解方差概念的产生和形成的过程。 3. 会用方差计算公式来比较两组数据的波动大小。 知识精讲 知识点01 极差 1.极差 一组数据中最大值与最小值的差，能反映这组数据的变化范围，我们就把这样的差叫做极差（range），极差＝最大值－最小值. 【微点拨】 极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大.一组数据的极差越小，这组数据的波动幅度也越小，也就越稳定. 【即学即练1】1．某聊天软件规定：若任意连续5天，好友双方的每日聊天记录的条数不低于100，则双方可以获得“星形”标识．甲、乙两位好友连续 5 天在该软件上聊天，下面是这 5天日聊天记录条数的统计量，一定能判断甲、乙获得“星形”标识的是（ ） A．中位数为 110 条，极差为 20 条 B．中位数为 110 条，众数为 112 条 C．中位数为 106 条，平均数为 102 条 D．平均数为 110 条，方差为 10 条2 【答案】D 【分析】 根据各个选项中所给出的统计量对数据进行估计与假设，若能够推断出这组数据中每个数据都不低于100，则满足题意． 【详解】 A、中位数为100条，极差为20，则一定有聊天记录小于条的天数，故A说法错误； B、众数为112条，中位数为110，则数据中必有110,112,112，那么可能出现有1天或者2天聊天条数低于，但是不能确定这两天的聊天记录都高于，故B说法错误； C、中位数为106，平均数为102，只可保证5日聊天总条数大于500，并不能保证每一天都大于100，故C说法错误； D、选项中，设5个数分别为、、、、 则 若、、、、中有一个数小于等于100， 则， 因为，所以、、、、均大于100； 故选：D． 知识点02 方差 在一组数据中，各个数据与它们的平均数的差的平方分别是，我们用它们的平均数，即用来描述这组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的方差，记作.　　 【微点拨】 （1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小. （2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变. （3）一组数据的每一个数据都变为原来的倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的倍. 【即学即练2】2．某校九年级进行了3次数学模拟考试，甲、乙、丙三名同学的平均分为及方差如右表所示，那么这三名同学数学成绩最稳定的是（ ） 甲 乙 丙 91 91 91 6 24 54 A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 【答案】A 【分析】 先比较平均成绩，当平均成绩一致时，比较方差，方差小的波动小，成绩更稳定． 【详解】 甲、乙、丙的成绩的平均分都是91，故比较它们的方差，甲、乙、丙三名同学的方差分别为6，24，54；故甲的方差是最小的，则甲的成绩是最稳定的． 故选A． 知识点03 标准差 通常，我们也用方差的算术平方根，即来描述一组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的标准差，记作s. 【微点拨】 （1）标准差的数量单位与原数据一致. （2）一组数据的方差或标准差越小，这组数据的离散程度越小，这组数据就越稳定. 【即学即练3】3．数学老师对小明的5次单元测验成绩进行统计分析，要判断小明的数学成绩是否稳定，老师需要知道小明这5次数学成绩的（ ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】D 【分析】 根据方差的意义：方差是反映一组数据波动大小，稳定程度的量；方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，反之也成立．标准差是方差的平方根，也能反映数据的波动性；故要判断他的数学成绩是否稳定，那么老师需要知道他这5次数学考试成绩的方差． 【详解】 解：由于方差和标准差反映数据的波动性，要判断数学成绩是否稳定，需要知道他这5次数学考试成绩的方差或标准差． 故选：D． 知识点04 极差、方差、标准差的区别和联系 联系：极差与方差、标准差都是表示一组数据离散程度的特征数． 区别：极差表示一组数据波动范围的大小，它受极端数据的影响较大；方差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差越大，稳定性越小；反之，则稳定性越好．所以一般情况下只求一组数据的波动范围时用极差，在考虑到这组数据的稳定性时用方差. 【即学即练4】4．如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差： 甲 乙 丙 丁 平均数（） 185 180 18