专题01 单调性的几个等价命题-2022年高考数学优拔尖必刷压轴题（选择题、填空题）（新高考地区专用）

专题01 单调性的几个等价命题 【方法点拨】 1. 函数f(x)为定义域在上的增函数对任意，当时,都有； 2. 对任意，当时,都有函数f(x)－kx为上的增函数 说明：含有地位同等的两个变量x1 , x 2 或𝑞,𝑟等不等式，进行“尘归尘，土归土”式的整理，是一种常见变形，如果整理（即同构）后不等式两边具有结构的一致性，往往暗示单调性（需要预先设定两个变量的大小）. 【典型题示例】 例1 （2021·江苏镇江八校·12联考）已知函数f(x)的定义域为R，图象恒过(0,1)点，对任意，当时,都有，则不等式)的解集为( ) A.(In2, +∞) B.(-∞,ln2) C.(In 2,1) D.(0, ln 2) 【答案】D 【分析】移项通分，按结构相同、同一变量分成一组的原则，将化为 令， 故在R上单增，且 可化为 即，所以，，解之得 所以不等式)的解集为(0, ln 2). 点评： 1. f(x)在单增（减）对任意，当时，都有 ； 2. 结构联想，当题目中出现，应移项通分转化为，即F(x)=f(x)－ax在单增. 例2 (2021·江苏南通如皋一抽测·22改编)已知函数，对于任意，当时，不等式 恒成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】同构后不等式两边具有结构的一致性，构造新函数，直接转化为函数的单调性. 【解析】不等式可变形为， 即，当，且恒成立， 所以函数在上单调递减. 令 则在上恒成立， 即在上恒成立. 设，则. 因为当时，， 所以函数在上单调递减， 所以， 所以， 即实数的取值范围为. 例3 （2021·江苏南通如皋期末·12）已知是定义在上的奇函数，对任意两个不相等的正数，，都有，记，，，则，，的大小关系为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】构造函数，则因为是定义在上的奇函数，故为定义域是 的偶函数 又对任意两个不相等的正数都有，即，故在上为减函数. 综上, 为偶函数,且在上单调递增,在上单调递减. 又，，，且 所以，即,故答案为：D. 【巩固训练】 1. 已知函数满足对任意，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2.已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（　　） A． B． C