专题02 函数的奇偶性与单调性-2022年高考数学优拔尖必刷压轴题（选择题、填空题）（新高考地区专用）

专题02 函数的奇偶性与单调性 【方法点拨】 1. 若函数f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|)，其作用是将“变量化正”，从而避免分类讨论． 2. 以具体的函数为依托，而将奇偶性、单调性内隐于函数解析式去求解参数的取值范围，是函数的奇偶性、单调性的综合题的一种重要命题方式，考查学生运用知识解决问题的能力，综合性强，体现能力立意，具有一定难度. 【典型题示例】 例1 设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－ ，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围是(　　) A. B.∪(1，＋∞) C. D.∪ 【答案】A 【分析】发现函数f(x)为偶函数，直接利用f(x)＝f(|x|)，将“变量化正”，转化为研究函数函数f(x)在（0，+∞）上单调性，逆用单调性脱“f”． 【解析】易知函数f(x)的定义域为R，且f(x)为偶函数． 当x≥0时，f(x)＝ln(1＋x)－，易知此时f(x)单调递增． 所以f(x)>f(2x－1)⇒f(|x|)>f(|2x－1|)，所以|x|>|2x－1|，解得<x<1.故选A. 例2 已知函数, 其中e是自然对数的底数. ,则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】直接发现函数的单调性、奇偶性，将移项，运用奇偶性再将负号移入函数内，逆用单调性脱“f”． 【解析】因为， 所以是奇函数 又因为，所以数在上单调递增 由、是奇函数得， 由在上单调递增，得，即，解得， 故实数的取值范围为. 例3 已知函数（为自然对数的底数），若，则实数 的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题是例2的进一步的延拓，其要点是需对已知函数适当变形，构造出一个具有奇偶性、单调性的函数,其思维能力要求的更高，难度更大. 【解析】令，易知是奇函数且在上单调递增 由得 即 由是奇函数得，故 由在上单调递增，得，即，解得， 故实数的取值范围为. 例4 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数，故关于直线对称，且在，上单减，函数的图象如下： ，且恒成立， ，即， 当时，不等式化为：，即，解得，即；当时，不等式化为：，即，解得或，即或； 综上，时，实数的取值范围