专题04 具有关于某点对称的函数的最值性质-2022年高考数学优拔尖必刷压轴题（选择题、填空题）（新高考地区专用）

专题04 具有关于某点对称的函数的最值性质 【方法点拨】 1.若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0. 2.关于某一点中心对称的函数在对称区间上的最值的解决方法同上，可以使用图象变换，转化为奇函数在对称区间上的最值问题. 一般的，若单调函数f(x)关于点(m，n)对称，且在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝2n. 【典型题示例】 例1 设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________. 【答案】2 【分析】本题解法较多，利用函数的奇偶性应当最为简单.将函数解析式适当作如下变形，，设，显然为奇函数，由题意知其最大值、最小值一定存在，根据函数图象的对称性，最大值与最小值互为相反数，其和为0，所以，本题应填2. 【解析】　显然函数f(x)的定义域为R， f(x)＝＝1＋， 设g(x)＝，则g(－x)＝－g(x)， ∴g(x)为奇函数， 由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0， ∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2 答案：2. 点评: 1.本题欲求最大值与最小值的和，上述解法没有运用常规的求最值的基本工具，如：求导、基本不等式、单调性、反解等，而是充分利用函数的性质——奇偶性，舍弃解析式其外在的“形”转而研究函数的“性”，这种策略和方法在解题中经常涉及.由于考生受定势思维的影响，此类题目多为考生所畏惧. 2. 发现函数隐藏的单调性、对称性是解决此类问题之关键，对于单调奇函数有下列性质：若单调奇函数f(x)满足f(a)＋f(b)＝0，则a＋b＝0.更一般的，若单调函数f(x)关于点(m，n)对称，且满足f(a)＋f(b)＝2n，则a＋b＝2m. 例2 已知函数，，则________． 【答案】 【解析】因为 所以,故答案为：. 例3 已知，设函数，的最大值、最小值分别为，则的值为 . 【答案】4039 【分析】研究函数的对称性，利用函数（其中是奇函数）在对称区间上的最大值、最小值的和为. 【解析】 设 则 所以的图象关于点对称 所以的图象关于点对称 故的值为4039.. 【巩固训练】 1.已知函数f(x)＝ln(－3x)＋1，则f(lg 2)＋f＝(　　) A.－1 B.0 C.1 D.2 2