专题05 与函数的对称性相关的零点问题-2022年高考数学优拔尖必刷压轴题（选择题、填空题）（新高考地区专用）

专题05 与函数的对称性相关的零点问题 【方法点拨】 1. 若单调奇函数f(x)满足f(a)＋f(b)＝0，则a＋b＝0.一般的，若单调函数f(x)关于点(m，n)对称，且满足f(a)＋f(b)＝2n，则a＋b＝2m. 2. 对于具有对称性的函数零点问题，要注意检验充分性，以防增解. 【典型题示例】 例1 若函数存在个零点，则所有这些零点的和等于_____________. 【答案】 【解析】设， 则为奇函数，其图象关于坐标原点对称 所以的图象关于点（1,0）对称，故其与x轴的交点也关于点（1,0）对称 所以的所有零点的和等于. 例2 设函数，数列是公差不为0的等差数列，，则（ ） A．0 B．7 C．14 D．21 【答案】D 【分析】根据函数值之和求自变量之和，很自然会去考虑函数的性质，而等式常常考查对称性，从而尝试去寻求函数的对称中心. 函数可以视为由与构成，它们的对称中心不一样，可以考虑对函数的图象进行平移, 比如，引入函数，则该函数是奇函数，对称中心是坐标原点，由图象变换知识不难得出的图象关于点中心对称. 【解析】∵是公差不为0的等差数列，且 ∴ ∴ ∴ 例3 已知函数有唯一零点，则a=（ ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】如果利用导数研究的零点，就会小题大做，容易陷入困难.由函数与方程思想，函数的零点满足. 设，显然是由函数向右平移一个单位而得到，易知是偶函数且在上是增函数.故关于直线对称，且在上是增函数，在上是减函数，. 设，显然关于直线对称，顶点为. 若，则函数关于直线对称，且在上是减函数，在上是增函数，最大值为，. 若的图象与的图象有一个公共点A，根据对称性必有另一个公共点B.所以，不合题意； 若，函数关于直线对称，且在上是增函数，在上是减函数，最小值为.若的图象与的图象只有一个公共点，必有，得. 【解析】，令 则易知是偶函数，所以图象关于直线对称，欲使有唯一零点， 必有，即，所以. 【解析二】　x2－2x＝－a(ex－1＋e－x＋1)， 设g(x)＝ex－1＋e－x＋1，g′(x)＝ex－1－e－x＋1＝ex－1－＝，当g′(x)＝0时，x＝1，当x<1时，g′(x)<0，