专题06 超越不等式（方程）-2022年高考数学优拔尖必刷压轴题（选择题、填空题）（新高考地区专用）

专题06 超越不等式（方程） 【方法点拨】 含有指对运算的方程(或不等式)称之为超越方程(或超越不等式),实现解这类方程、不等式，一般是构造函数，利用函数的单调性来解决. 【典型题示例】 例1 （2021·江苏无锡天一·12月八省联考热身卷·7）已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段的长度的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】考虑从“形”的角度切入，与已知圆同心且与相切的圆的半径与已知圆的半径之差即为所求 如下图 设该圆与相切的切点为 则由导数的几何意义、圆的切线性质得 即，此为超越方程，应先猜根，易知为其中一个根 设，则，单调递减 故为其唯一的一个根，此时切点为 所以的长度的最小值为，故选A. 例2 已知函数(aR)，其中e为自然对数的底数，若函数的定义域为R，且，求a的取值范围． 【答案】(2，4) 【解析】由函数f(x)的定义域为R，得x2－ax＋a≠0恒成立， 所以a2－4a＜0，解得0＜a＜4． 方法1（讨论单调性） 由f(x)＝，得f'(x)＝． ①当a＝2时，f(2)＝f(a)，不符题意． ②当0＜a＜2时， 因为当a＜x＜2时，f ′(x)＜0，所以f(x)在(a，2)上单调递减， 所以f(a)＞f(2)，不符题意． ③当2＜a＜4时， 因为当2＜x＜a时，f ′(x)＜0，所以f(x)在(2，a)上单调递减， 所以f(a)＜f(2)，满足题意． 综上，a的取值范围为(2，4)． 方法2（转化为解超越不等式，先猜根再使用单调性） 由f(2)＞f(a)，得＞． 因为0＜a＜4，所以不等式可化为e2＞(4－a)． 设函数g(x)＝(4－x)－e2， 0＜x＜4． 因为g'(x)＝ex·≤0恒成立，所以g(x)在(0，4)上单调递减． 又因为g(2)＝0，所以g(x)＜0的解集为(2，4)． 所以，a的取值范围为(2，4)． 例3 已知函数f(x)＝x－1－(e－1)lnx，其中e为自然对数的底，则满足f(ex)＜0的x的取值范围为 ． 【答案】 【解析】易得f(1)＝f(e)=0 ∵ ∴当时，，在单减；当时，，在单增 ∴的解集是 令，得，故f(ex)＜0的x的取值范围为． 【巩固训练】 1.已知函数，则不等式的解集是（