专题08 递推函数-2022年高考数学优拔尖必刷压轴题（选择题、填空题）（新高考地区专用）

专题08 递推函数 【方法点拨】 类比于数列的递推关系,我们把具有f(x＋1)＝2f(x)等形式的函数称为递推函数.诸如函数f(x＋1)＝2f(x)，意即变量的值增加1，其对应的函数值是原来函数值的2倍，类似函数的周期性，但有一个倍数关系．依然可以考虑利用周期性的思想，在作图时，以一个“周期”图像为基础，其余各部分按照倍数调整图像即可．f(x)＝f(x－1)+1等以此类推. 【典型题示例】 例1 设函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈(0,1]时，f(x)＝x(x－1).若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－，则m的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【答案】　B 【分析】 【解析一】∵时，， ∴当时，，故， 同理，当时，，∴，···， 当时，，∴ 所以，当， 当时，，令，解之得： 为使对任意，都有，则m的取值范围是. 故选B. 【解析二】　当－1<x≤0时，0<x＋1≤1，则f(x)＝ f(x＋1)＝(x＋1)x；当1<x≤2时，0<x－1≤1，则f(x)＝2f(x－1)＝2(x－1)(x－2)；当2<x≤3时，0<x－2≤1，则f(x)＝2f(x－1)＝22f(x－2)＝22(x－2)(x－3)，…，由此可得 f(x)＝由此作出函数f(x)的图象，如图所示.由图可知当2<x≤3时，令22(x－2)·(x－3)＝－，整理，得(3x－7)(3x－8)＝0，解得x＝或x＝，将这两个值标注在图中.要使对任意x∈(－∞，m]都有f(x)≥－，必有m≤，即实数m的取值范围是，故选B. 例2 已知函数f(x)是定义在[1，＋∞)上的函数，且f(x)＝则函数y＝2xf(x)－3在区间(1,2 015)上的零点个数为________． 【答案】11　 【解析一】由题意得当1≤x<2时，f(x)＝设x∈[2n－1,2n)(n∈N*)，则∈[1,2)，又f(x)＝f， 1 当∈时，则x∈[2n－1,3·2n－2]，所以f(x)＝f＝，所以2xf(x)－3＝2x·－3＝0，整理得x2－2·2n－2x－3·22n－4＝0.解得x＝3·2n－2或x＝－2n－2.由于x∈[2n－1,3·2n－2]，所以x＝3·2n－2； 2 当∈时，则x∈(3·2n－2,2n)，所以f(x)＝f＝，所以 2xf(x)－3＝2x·－3＝0，整理