专题09 三次函数的对称性、穿根法作图象-2022年高考数学优拔尖必刷压轴题（选择题、填空题）（新高考地区专用）

专题09 三次函数的对称性、穿根法作图象 【方法点拨】 对于三次函数f (x)＝ax3＋bx2＋cx＋d（其中a≠0），给出以下常用结论： (1)当a＞0，b2－3ac＞0时，三次函数的图象为N字型；当a＜0，b2－3ac＞0时，三次函数的图象为反N字型；当a＞0，b2－3ac≤0时，单调递增，当a＜0，b2－3ac≤0时，单调递减． (2)三次函数有对称中心(x0，f (x0))，f ″(x0)＝0. 【典型题示例】 例1 (2021·全国乙卷·理10)设，若为函数的极大值点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否编号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到所满足的关系，由此确定正确选项. 【解析】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故. 有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的. 当时，由，，画出的图象如下图所示： 由图可知，，故. 当时，由时，，画出的图象如下图所示： 由图可知，，故.综上所述，成立.故选：D 例2 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】 . 函数的一个极值点是，所以以为界与比较，进行分类讨论. ①当时，如图一，由得，或，欲使函数在区间上单调递增，只需，即. ②当时，如图二，在区间上单调递增，满足题意. 综上知，实数的取值范围是．x y O a （图二) a O x y （图一） 点评: 作三次函数f (x)＝a(x－x1) 2(x－x2)（其中a≠0，x1≠x2）示意图的方法要点有二： （1）当a＞0时，三次函数的图象为N字型（最右区间增）；当a＜0时，三次函数的图象为反N字型（最右区间减）. （2）x1既是函数的零点，又是函数的极值点，从形上看，函数图象此时与x轴相切（或称“奇穿偶回”，即x1、x2都是函数的零点，x1是二重根，图象到此不穿过x轴，即“回”，这种作函数图象的方法称为“穿根法”）. 例3 已知a，bR且ab≠0，若(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0在x≥0上恒成立，则（ ） A. a<0 B. a>0 C. b<0 D. b>0 【答案】C 【分析】本题的实质是考察三次函数的图象，设