专题11 双变量方程类存在性或任意性问题-2022年高考数学优拔尖必刷压轴题（选择题、填空题）（新高考地区专用）

专题11 双变量方程类存在性或任意性问题 【方法点拨】 解决双变量“存在性或任意性”问题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系)，目的在于培养学生的逻辑推理素养和良好的数学思维品质． 若f(x)，g(x)的值域分别为A，B，则有： ①∀x1∈D， ∃x2∈E，使得f(x1)=g(x2)成立，则； ② ∃x1∈D，∃x2∈E，使得f(x1)=g(x2)成立，则. 【典型题示例】 例1 已知函数，实数，满足，若，，使得成立，则的最大值为（ ） A 4 B. C. D. 【答案】A 【解析】，则当 时，；当 时，，∴ .，作函数 的图象如图所示，当时，方程两根分别为 和，则 的最大值为.故选A. 例2 已知函数 ，若存在，，使得成立，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】当时，单调递减，； 当时，成立，单调递增，， 所以的值域为． 设的值域为，因为存在，使得成立， 所以．，． ①，任意，成立，在单调递增， 所以，，． 因为，所以，； ②，任意，成立，在单调递减， 所以，，， 则，不合题意； ③，令，， 在递减，递增， 所以，，． 又，，则，不合题意． 综上所述，． 点评：存在性和恒成立混合问题注意理解题意，等量关系转化为值域的关系. 例3 已知f(x)是定义在[－2，2]上的奇函数，且当x∈(0，2]时，f(x)＝2x－1，函数g(x)＝x2－2x＋m，且如果对于任意的x1∈[－2，2]，都存在x2∈[－2，2]，使得g(x2)＝f(x1)，则实数m的取值范围是______________． 【答案】 [－5，－2]　 【分析】易得，，若对于，使得，只需的值域包含于的值域即可，即m－1≤－3且m＋8≥3，解得． 【解析】x∈(0，2]时，f(x)＝2x－1为增函数，值域为(0，3]， 因为f(x)是定义在[－2，2]上的奇函数，所以f(x)在[－2，2]上的值域为[－3，3]， 函数g(x)＝x2－2x＋m在x∈[－2，2]上的值域为[m－1，m＋8]． 因为对任意的x1∈[－2，2]，都存在x2∈[－2，2]，使得g(x2)＝f(x1)， 所以f(x)在[－2，2]上的值域是g(x)＝x2－2x＋m在x∈