专题12 双元类不等式能成立、恒成立问题-2022年高考数学优拔尖必刷压轴题（选择题、填空题）（新高考地区专用）

专题12 双元类不等式能成立、恒成立问题 【方法点拨】 1.∀x1∈D, ∀x2∈E,均有f(x1) >g(x2)恒成立,则f(x)min> g(x)max； ∀x1∈D, ∃x2∈E, 使得f(x1) >g(x2)成立,则f(x)min> g(x) min； ∃x1∈D, ∃x2∈E, 使得f(x1) >g(x2)成立,则f(x) max > g(x) min. 记忆方法：都任意，大小小大（即对于两个变量都是“任意”的，不等式中较大者的最小值大于不等式中较小者的最大值），存在换任意，大小应互换. 2.双元型不等式恒成立、能成立问题一般应遵循“双元化一元，逐一处理”的策略，即选择主次元的方法，一般应”先独立后分参”,即先处置独立变量（所谓”独立变量”是指与所求参数无关的变量），再处置另一变量,而解题过程中往往采取分参方法. 【典型题示例】 例1 已知函数，若对，总，使得，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】即. 当时，，故只需，所以即对恒成立，分参得，令，，，故； 当时，，故只需，所以，且，即对恒成立，分参得，令，，，故； 综上，实数的取值范围. 例2 已知函数，若对任意，都存在使成立，则实数b的取值范围是 . 【解析】由条件可知 因为，且、在[1，2]上单调递增 所以函数在[1，2]上单调递增，， 所以，即在恒成立， 即在恒成立，记， 易证在[1,2]上单调递增， 所以，，从而只需，即. 点评： 为避免求函数最小值时的含参讨论，逆向转化为在上恒成立，再利用分离参数求解.此种处理手段太重要，意味深长！！ 例3 已知函数，，若(0，)，[﹣1，0]，使得成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】双变量问题，逐一突破，这里先处理不含参部分 由题意得，，， 当时，， 令，则，， 即在上为减函数，故 所以， 所以恒成立， 即恒成立， 又，当且仅当时取等号， 所以实数的取值范围为． 点评： 存在性和恒成立混合问题注意理解题意，不等关系转化为最值的关系. 例4 若对任意，存在，使不等式成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析一】先视为以“”为主元的二次不等式的恒成立， 即不等式在上恒成立， 所以， 即，存在，使不等式成立， 再视为以