专题13 二元不等式恒成立问题-2022年高考数学优拔尖必刷压轴题（选择题、填空题）（新高考地区专用）

专题13 二元不等式恒成立问题 【方法点拨】 1.对于“双参求一参数范围问题”宜采取变更主元法，如例1、例2，此类题目的特征是：含有双参数而问题是求其中一个参数的取值范围，只需将另一参数视为“主元”，求出最值即可. 2.对于“或求有关的代数式取值范围”型，利用几何意义，转化为比较零点来处理. 【典型题示例】 例1 若关于x的不等式x3﹣3x2+ax+b＜0对任意的实数x∈[1，3]及任意的实数b∈[2，4]恒成立，则实数a的取值范围是　 　． 【答案】（﹣∞，﹣2） 【分析】本题的特征是，较一般的不等式恒成立问题，增加了一个变量，一般是关于该变量的“一次式”，其解法是：变更主元，先看作“一次变量”的恒成立问题即可. 【解析】先视为以b为主元的函数，设f(b)= b+ (x3﹣3x2+ax) 则f(b)为关于b的一次函数，在b∈[2，4]上增，为使f(b) ＜0恒成立 只需f(4) ＜0，即x3﹣3x2+ax+4＜0 再考虑x3﹣3x2+ax+4＜0在x∈[1，3]恒成立 分离参数可得：a＜3x﹣x2， 设g（x）＝3x﹣x2，x∈[1，3]，故a＜g（x）的最小值 由g′（x）＝3﹣2x，可得1＜x＜2时，g′（x）＞0，g（x）递增；2＜x＜3时， g′（x）＜0，g（x）递减， 又g（1）＝﹣2，g（3），可得g（x）在[1，3]的最小值为﹣2， ∴a＜﹣2，故实数 a的范围是（﹣∞，﹣2）． 例2 已知函数，若对任意，，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】 【解析】由在恒成立， 整理得对任意恒成立， 所以应有恒成立， 即对恒成立． 设， 则， 令，得或，列表如下： 8 0 0 0 极小值 极大值 ， 所以在的最小值为，又， ， 所以实数的取值范围是． 例3 已知a，b∈R，若关于x的不等式lnx≤a(x－2)＋b对一切正实数x恒成立，则当a＋b取最小值时，b的值为 ． 【答案】ln3－． 【分析】在平面直角坐标系xOy中，分别作出y＝lnx及y＝a(x－2)＋b的图象，不等式lnx≤a(x－2)＋b对一切正实数x恒成立，即直线y＝a(x－2)＋b恒在曲线y＝lnx的上方．a＋b最小，即直线y＝a(x－2)＋b与x＝3