专题14 利用结构相同函数解题-2022年高考数学优拔尖必刷压轴题（选择题、填空题）（新高考地区专用）

专题14 利用结构相同函数解题 【方法点拨】 1.一个方程中出现两个变量,适当变形后,使得两边结构相同;或不等式两边式子也可适当变形,使其两边结构相同,然后构造函数,利用函数的单调性把方程或不等式化简. 2. 同构的基本策略是：“左右形式相当，一边一个变量，取左或取右，构造函数妥当”. 【典型题示例】 例1 （2021·江苏新高考适应性考试·8）已知且，且，且， 则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析一】往结构相同方向变形，将已知变形为，，， 设函数，则 所以在上单减，在上单增 所以，，所以. 【解析二】将已知两边取对数：，，， 再往结构相同方向变形：，， 设函数，则 所以在上单减，在上单增 所以，，所以. 例2 已知实数a，b满足，，则a＋3b＝ ． 【答案】16 【解析】令，则 ，代入可化为，即 设，则，在上单增 故只有一个零点 所以，即， 所以. 例3 已知函数，，则t的取值范围是 ． 【答案】 【分析】这里 可以发现,将移项变形为，易知是奇函数，，故进一步变形为，此时,得到一个“左右形式相当，一边一个变量”的不等式，令，问题转化为，只需研究的单调性，逆用该函数的单调性即可. 【解析】∵ ∴可变形为： ∵是奇函数 ∴ ∴ 令，则 ∴单增 ∴，即，解之得 所以t的取值范围是． 例4 已知实数，满足，，则______. 【答案】 【分析】由已知条件考虑将两个等式转化为统一结构形式，令，得到，研究函数的单调性，求出关系，即可求解. 【解析一】实数，满足，， ，，则， ， 所以在单调递增，而， . 【解析二】对两边取自然对数得：， 对两边取自然对数得： （※） 为使两式结构相同，将（※）进一步变形为： 设，则 所以在单调递增，的解只有一个. ∴， ∴ 点评:两种解法实质相同，其关键是对已知等式进行变形，使其“结构相同”，然后构造函数，利用函数的单调性，利用是同一方程求解. 【巩固训练】 1.若，则（ ） A. B. C. D. 2.若，则（ ） A． B． C． D． 3.(多选题)已知对任意，恒成立，则 A． B． C． D． 4.如果，，则的取值范围是_______. 5.不等式的解集是_______