考向13 函数的零点及函数的应用（重点）-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（新高考地区专用）

考向13 函数的零点及 函数的应用 1．（2020·海南高考真题）基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型： 描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ） A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天 【答案】B 【分析】 根据题意可得 ，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为 天，根据 ，解得 即可得结果. 【详解】 因为 ， ， ，所以 ，所以 ， 设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为 天， 则 ，所以 ，所以 ， 所以 天. 故选：B. 【点睛】 本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题. 2．（2020·天津高考真题）已知函数 若函数 恰有4个零点，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由 ，结合已知，将问题转化为 与 有 个不同交点，分 三种情况，数形结合讨论即可得到答案. 【详解】 注意到 ，所以要使 恰有4个零点，只需方程 恰有3个实根 即可， 令 EMBED Equation.DSMT4 ，即 与 的图象有 个不同交点. 因为 ， 当 时，此时 ，如图1， 与 有 个不同交点，不满足题意； 当 时，如图2，此时 与 恒有 个不同交点，满足题意； 当 时，如图3，当 与 相切时，联立方程得 ， 令 得 ，解得 （负值舍去），所以 . 综上， 的取值范围为 . 故选：D. 【点晴】 本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题. 1.判断函数y=f(x)在某个区间上是否存在零点,主要利用函数零点的存在性定理进行判断.首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,然后看是否有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点. 2.判断函数y=f(x)的零点个数时,常用以下方法: (1)解方程:当对应方程易解时,可通过解方程,判断函数零点的个数; (2)根据函数的性质结合已知条件进行判断; (3)通过数形结合进行判断,画函数图象,观察图象与x轴交点的个数来判断. 3.已知函数有零点(方程有根),求参数的取值范围常用的方法: (1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围. (2)分离参数法:先将参数分离,再转化成求函数值域问题加以解决. (3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,再数形结合求解. 4.解决函数应用问题的步骤 (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型; (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型; (3)解模:求解数学模型,得出数学结论; (4)还原:将数学结论还原为实际问题的意义. 1.零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续曲线,且有f(a)f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间[a,b]内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,此时这个c就是方程f(x)=0的根. 2.函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y=f(x)与y=g(x)的图象交点的横坐标. 【知识拓展】 判断函数零点个数的方法: (1)利用零点存在性定理判断法; (2)代数法:求方程f(x)=0的实数根; (3)几何法:对于不易求根的方程,将它与函数y=f(x)的图象联系起来,利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解.在利用函数性质时,可用求导的方法判断函数的单调性. 1．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）函数 在 上的零点个数为（ ） A． B． C． D． 2．（2021·安徽高三其他模拟（文））已知函数 ，方程 有两解，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．（2021·湖北荆州市·荆州中学高三其他模拟）（多选题）在下列区间中，函数 一定存在零点的区间为（ ） A． B． C． D． 4．（2021·河北饶阳中学高三其他模拟）已知函数 有两个不同的零点，则实数k的取值范围是_________. 1．（2021·北京清华附中高三其他模拟）函数 的零点一定位于区间（ ） A． B． C． D． 2．（2