第一讲 配餐2 基本不等式的应用-高中数学选修4-5【赢在微点】轻松课堂（人教A版）课件PPT

第*页 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-5 第一讲 不等式和绝对值不等式 第*页 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-5 配餐2 基本不等式的应用 ►►配餐一刻钟　提分更轻松 第*页 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-5 知识与方法 正数的算术—几何平均不等式有二元不等式(如果a，b是正数，那么eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)，当且仅当a＝b时取“＝”)和三元不等式(如果a，b，c是正数，那么eq \f(a＋b＋c,3)≥eq \r(3,abc)，当且仅当a＝b＝c时取“＝”)，其作用主要有证明、求最值。 1．基本不等式的功能在于“和”与“积”的相互转化，使用基本不等式求最值时，给定的形式不一定能直接适合基本不等式，往往需要拆、添、拼凑因式等技巧，凑成和或积为定值，然后构造出基本不等式的形式再进行求解。 2．使用基本不等式求最值，必须同时满足三个条件： (1)各项均为正数；(2)其和或积为定值；(3)等号必须成立。即“一正、二定、三相等”。在具体问题中，“定值”条件决定着基本不等式应用的可行性，是成败的关键。 第*页 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-5 典型例题 【例1】　求证：eq \r(a2＋b2)＋eq \r(b2＋c2)＋eq \r(c2＋a2)≥eq \r(2)(a＋b＋c)。 [导思]　观察不等式左边有eq \r(a2＋b2)，eq \r(b2＋c2)，eq \r(c2＋a2)，确定找出a2＋b2与a＋b之间的关系为突破口，注意到a2＋b2≥2ab⇔2(a2＋b2)≥(a＋b)2⇒eq \r(a2＋b2)≥eq \f(a＋b,\r(2))，证明的思路便明确了。 [证明]　由不等式a2＋b2≥2ab， 得 eq \r(\f(a2＋b2,2))＝ eq \r(\f(2a2＋2b2,4))＝eq \r(\f(a2＋b2＋a2＋b2,4)) ≥ eq \r(\f(a2＋b2＋2ab,4))＝eq \f(|a＋b|,2)≥eq \f(a＋b,2)， 第*页 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-5 即 eq \r(a2＋b2)≥eq \f(a＋b,\r(2))， 同理 eq \r(b2＋c2)≥eq \f(b＋c,\r(2))， eq \r(c2＋a2)≥eq \f(c＋a,\r(2))， 三式相加得eq \r(a2＋b2)＋eq \r(b2＋c2)＋eq \r(c2＋a2)≥eq \f(2a＋b＋c,\r(2))＝eq \r(2)(a＋b＋c)。 当且仅当a＝b＝c时，等号成立。 第*页 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-5 第*页 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-5 【例2】　求解下列各题： (1)若x<0，求函数f(x)＝1－x－eq \f(16,x)的最小值； (2)设x>0，求函数y＝x－1＋eq \f(4,x＋1)的最小值； (3)已知正数a，b满足eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝3，求a＋b的取值范围。 [导思]　(1)因为x<0，所以可对－x－eq \f(16,x)利用基本不等式求最小值。 (2)将原函数解析式变形为y＝x＋1＋eq \f(4,x＋1)－2，再对x＋1＋eq \f(4,x＋1)运用基本不等式求最值。 (3)一种思路是根据eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝3，将a＋b中的b用a表示，然后用基本不等式求取值范围；另一种思路是对eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝3变形，获得a＋b与ab的关系，然后利用解不等式消去ab建立关于a＋b的不等式进行求解。 第*页 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-5 [解]　(1)因为x<0，所以f(x)＝1－x－eq \f(16,x)＝1＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1((－x)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16,x)))))≥1＋2eq \r((－x)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16,x))))＝9， 当且仅当－x＝－eq \f(16,x)，即x＝－4时，等号成立。 故f(x)min＝9。 (2)因为x>0，所以y＝x－1＋eq \f(4,x＋1)＝x＋1＋eq \f(4,x＋1)－2≥2eq \r(x＋1·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,x＋1))))－2＝2。 当且仅当x＋1＝eq \f(4,x＋1)，即x＝1时，等号成立， 所以函数y的最小值等于2。 第*页 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-5 (3)解