第三讲 配餐3 排序不等式的应用-高中数学选修4-5【赢在微点】轻松课堂（人教A版）课件PPT

第*页 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-5 第三讲 柯西不等式与排序不等式 第*页 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-5 配餐3 排序不等式的应用 ►►配餐一刻钟　提分更轻松 第*页 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-5 知识与方法 1．顺序和、乱序和、反序和 设有两个有序实数组：a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任意一个排列，则称a1b1＋a2b2＋…＋anbn为这两个数组的顺序和；a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1为这两个数组的反序和；a1c1＋a2c2＋…＋ancn为这两个数组的乱序和。 2．排序不等式(又称排序原理) 设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任意一个排列，则a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn，当且仅当a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn时，反序和等于顺序和。 排序不等式又称排序原理，可以简单地记作：反序和≤乱序和≤顺序和。排序不等式取等号的条件是a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn。 第*页 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-5 典型例题 【例1】　已知a，b，c均为正数，求证eq \f(a2,b＋c)＋eq \f(b2,c＋a)＋eq \f(c2,a＋b)≥eq \f(1,2)(a＋b＋c)。 [导思]　a，b，c在不等式中的地位是均等的，不妨设a≥b≥c>0，再利用排序不等式加以证明。 [证明]　由不等式的对称性，不妨设a≥b≥c>0， 所以a2≥b2≥c2，eq \f(1,b＋c)≥eq \f(1,c＋a)≥eq \f(1,a＋b)。 由顺序和≥乱序和得到两个不等式： eq \f(a2,b＋c)＋eq \f(b2,c＋a)＋eq \f(c2,a＋b)≥eq \f(a2,c＋a)＋eq \f(b2,a＋b)＋eq \f(c2,b＋c)， eq \f(a2,b＋c)＋eq \f(b2,c＋a)＋eq \f(c2,a＋b)≥eq \f(a2,a＋b)＋eq \f(b2,b＋c)＋eq \f(c2,c＋a)。 第*页 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-5 两式相加，得2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,b＋c)＋\f(b2,c＋a)＋\f(c2,a＋b)))≥eq \f(b2＋c2,b＋c)＋eq \f(c2＋a2,c＋a)＋eq \f(a2＋b2,a＋b)， 注意到eq \f(b2＋c2,b＋c)≥eq \f(1,2)(b＋c)，eq \f(c2＋a2,c＋a)≥eq \f(1,2)(c＋a)，eq \f(a2＋b2,a＋b)≥eq \f(1,2)(a＋b)， 所以2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,b＋c)＋\f(b2,c＋a)＋\f(c2,a＋b)))≥eq \f(1,2)(b＋c)＋eq \f(1,2)(c＋a)＋eq \f(1,2)(a＋b)＝a＋b＋c。 故eq \f(a2,b＋c)＋eq \f(b2,c＋a)＋eq \f(c2,a＋b)≥eq \f(1,2)(a＋b＋c)。 第*页 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-5 [点评]　当给出a≥b≥c>0的假设后，所用的两组数据就完全确定，但要注意a，b，c三者地位必须均等，否则假设不成立。 第*页 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-5 【例2】　设a，b，c为正数，利用排序不等式证明a3＋b3＋c3≤eq \f(b4＋c4,2a)＋eq \f(c4＋a4,2b)＋eq \f(a4＋b4,2c)。 [导思]　本题中正数a，b，c的大小顺序没有给定，所以要先给定一个顺序排列，并且在此条件下构造出相关的其他顺序排列，进而设计出题中所需要的顺序和、反序和或乱序和，再利用排序不等式证明。 [证明]　因为所证不等式中a，b，c的地位是相同的，即交换a，b，c的位置不影响式子结构， 所以不妨设0<a≤b≤c， 所以0<a4≤b4≤c4,0<eq \f(1,c)≤eq \f(1,b)≤eq \f(1,a)， 第*页 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-5 又a3＋b3＋c3＝eq \f(a4,a)＋eq \f(b4,b)＋eq \f(c4,c)为反序和， eq \f(a4,c)＋eq \f(b4,a)＋eq \f(c4,b)和eq \f(a4,b)＋eq \f(b4,c)＋eq \f(c4,a)均为乱序和， 根据排序不等式知反序和≤乱序和