第三讲 三.排序不等式-【上课小助手】2020-2021学年高中数学同步备课系列（人教A版选修4-5）

第三讲 三.排序不等式 问题探讨 * * 问题:已知两组数1,2,3和4,5,6，若 是 4,5,6的一个排列，则 的 最大值是_____,最小值是_____. 32 28 顺序和　 反序和　 乱序和　 乱序和　 乱序和　 乱序和　 最大值 最小值 * * 对应关系 和 备 注 （1,2,3） （25,30,45） （1,2,3） （25,45,30） （1,2,3） （30,25,45） （1,2,3） （30,45,25） （1,2,3） （45,25,30） （1,2,3） （45,30,25） 发现:反序和≤乱序和≤顺序和. 定义 顺序和　 乱序和　 反序和　 * * 一般地,设有两组实数: 与 ,且它们满足: ,　 , 若 是 的任意一个排列,则和 称为数组 和 的乱序和,其中按相反顺序相乘所得积的和 称为反序和.按相同顺序相乘所得积的和 称为顺序和.根据直觉你可以得什么不等式? 反序和≤乱序和≤顺序和 * * * 练习: * 练习: * * [例1]　已知a，b，c为正数，且a≥b≥c，求证：eq \f(a5,b3c3)＋eq \f(b5,c3a3)＋eq \f(c5,a3b3)≥eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c). [思路点拨]　分析题目中已明确a≥b≥c，所以解答本题时可直接构造两个数组，再用排序不等式证明即可． eq \o(\s\up17(用排序不等式证明不等式所证不等式),\s\do15(中字母大小顺序已确定　　　　　　)) [证明]　∵a≥b>0，∴eq \f(1,a)≤eq \f(1,b). 又c>0，从而eq \f(1,bc)≥eq \f(1,ca). 同理eq \f(1,ca)≥eq \f(1,ab)，从而eq \f(1,bc)≥eq \f(1,ca)≥eq \f(1,ab). 又由于顺序和不小于乱序和，故可得 eq \f(a5,b3c3)＋eq \f(b5,c3a3)＋eq \f(c5,a3b3)≥eq \f(b5,b3c3)＋eq \f(c5,c3a3)＋eq \f(a5,a3b3) ＝eq \f(b2,c3)＋eq \f(c2,a3)＋eq \f(a2,b3) eq \b\lc\(\rc\)(\