课时练17 用数学归纳法证明不等式举例-高中数学选修4-5【赢在微点】轻松课堂（人教A版）课件PPT

第*页 返回导航 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-5 第四讲　 用数学归纳法证明不等式 第*页 返回导航 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-5 课时练17　用数学归纳法证明不等式举例 ►►见学生用书P045 课堂轻松练知识点·微过关 课后巩固45分钟跟踪练·微提升 第*页 返回导航 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-5 作业目标 学法指导 1.掌握用数学归纳法证明不等式的常用方法与技巧。 2．理解贝努利不等式。 3．能综合运用数学归纳法与数列、三角函数等知识进行不等式的证明。 在利用数学归纳法证明不等式时，要注意以下4点：①在从n＝k到n＝k＋1的过程中，应分析清楚不等式两端(一般是左端)项数的变化，也就是要认清不等式的结构特征；②瞄准当n＝k＋1时的递推目标，有目的地进行放缩、分析；③活用起点的位置；④有的题目需要先作等价变换。 第*页 返回导航 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-5 课堂轻松练 知识点·微过关 第*页 返回导航 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-5 知识点1 利用数学归纳法证明不等式 1．用数学归纳法证明不等式：1＋eq \f(1,\r(2))＋eq \f(1,\r(3))＋…＋eq \f(1,\r(n))<2eq \r(n)(n∈N＋)。 证明　①当n＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，不等式成立。 ②假设当n＝k(k≥1)时，命题成立， 即1＋eq \f(1,\r(2))＋eq \f(1,\r(3))＋…＋eq \f(1,\r(k))<2eq \r(k)成立。 则当n＝k＋1时， 左边＝1＋eq \f(1,\r(2))＋eq \f(1,\r(3))＋…＋eq \f(1,\r(k))＋eq \f(1,\r(k＋1)) 第*页 返回导航 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-5 <2eq \r(k)＋eq \f(1,\r(k＋1))＝eq \f(2\r(kk＋1)＋1,\r(k＋1)) <eq \f(k＋k＋1＋1,\r(k＋1))＝2eq \r(k＋1)。 即当n＝k＋1时，不等式成立。 由①②得不等式对n∈N＋成立。 第*页 返回导航 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-5 知识点2 利用数学归纳法证明数列中的不等式 2.设数列{an}满足a1＝2，an＋1＝an＋eq \f(1,an)(n＝1,2，…)。求证：an>eq \r(2n＋1)对一切正整数n均成立。 证明　(1)当n＝1时，a1＝2，eq \r(2×1＋1)＝eq \r(3)，2>eq \r(3)，所以不等式成立。 (2)假设当n＝k(k≥1)时不等式成立，即ak>eq \r(2k＋1)。 当n＝k＋1时，ak＋1＝ak＋eq \f(1,ak)， 则aeq \o\al(2,k＋1)＝aeq \o\al(2,k)＋eq \f(1,a\o\al(2,k))＋2>2k＋1＋eq \f(1,a\o\al(2,k))＋2＝2k＋3＋eq \f(1,a\o\al(2,k))>2k＋3＝2(k＋1)＋1， 即ak＋1>eq \r(2k＋1＋1)，故当n＝k＋1时不等式成立。 由(1)(2)知，an>eq \r(2n＋1)对一切正整数n均成立。 第*页 返回导航 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-5 知识点3 探索类问题的证明 3.设Pn＝(1＋x)n，Qn＝1＋nx＋eq \f(nn－1,2)x2，n∈N＋，x∈(－1，＋∞)，试比较Pn与Qn的大小，并加以证明。 解　P1＝1＋x＝Q1，P2＝1＋2x＋x2＝Q2， P3＝1＋3x＋3x2＋x3，Q3＝1＋3x＋3x2， P3－Q3＝x3， 由此推测，Pn与Qn的大小要由x的符号来决定。 (1)当n＝1,2时，Pn＝Qn。 (2)当n≥3时(以下再对x进行分类)： ①若x∈(0，＋∞)，显然有Pn>Qn。 ②若x＝0，则Pn＝Qn。 第*页 返回导航 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-5 ③若x∈(－1,0)，则P3－Q3＝x3<0，所以P3<Q3。 P4－Q4＝4x3＋x4＝x3(4＋x)<0，所以P4<Q4。 假设当n＝k(k≥3，k∈N＋)时，有Pk<Qk(k≥3)， 则当n＝k＋1时，Pk＋1＝(1＋x)Pk<(1＋x)Qk＝Qk＋xQk＝1＋kx＋eq \f(kk－1x2,2)＋x＋kx2＋eq \f(kk－1x3,2) ＝1＋(k＋1)x＋eq \f(kk＋1,2)x2＋eq \f(kk－1,2)x3 ＝Qk＋1＋eq \f(kk－1,2)