第二讲 配餐3 曲线的参数方程及其应用-高中数学选修4-4【赢在微点】轻松课堂（人教A版）课件PPT

第*页 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-4 配/餐/1/刻/钟 第二讲 参数方程 第*页 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-4 配餐3 曲线的参数方程及其应用 ►►配餐一刻钟　提分更轻松 第*页 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-4 知识与方法 圆心为(a，b)，半径为r的圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝a＋rcosθ，,y＝b＋rsinθ))(θ为参数)； 长半轴为a，短半轴为b，中心在原点的椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝acosθ，,y＝bsinθ))(θ为参数)，圆、椭圆的参数方程在计算最大值、最小值和取值范围等问题中有着广泛的应用，利用圆、椭圆的参数方程将上述问题转化为三角函数的最值问题，利用三角函数的变换公式可以简化计算，从而避免了繁杂的代数运算。 第*页 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-4 典型例题 【例1】　已知点P(x，y)是圆x2＋y2－6x－4y＋12＝0上的动点，求 (1)x2＋y2的最值； (2)x＋y的最值。 [导思]　把要求最值的式子(1)x2＋y2与(2)x＋y化为用一个参数表示，那么所求的目标就成了以参数作为自变量的目标函数，然后用求函数最值的方法求解最值。 第*页 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-4 [解]　由x2＋y2－6x－4y＋12＝0,得(x－3)2＋(y－2)2＝1， 用参数方程表示为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝3＋cosθ，,y＝2＋sinθ))(θ为参数)， 因为点P(x，y)在圆上， 所以可设点P(3＋cosθ，2＋sinθ)， (1)x2＋y2＝(3＋cosθ)2＋(2＋sinθ)2， ＝14＋4sinθ＋6cosθ ＝14＋2eq \r(13)sin(θ＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanφ＝\f(3,2)))， ∴x2＋y2的最大值为14＋2eq \r(13)，最小值为14－2eq \r(13)。 (2)x＋y＝3＋cosθ＋2＋sinθ＝5＋eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))， ∴x＋y的最大值为5＋eq \r(2)，最小值为5－eq \r(2)。 第*页 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-4 第*页 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-4 【例2】　已知常数a>0，在矩形ABCD中，|AB|＝4，|BC|＝4a，O为AB的中点，点E，F，G分别在BC，CD，DA上移动，且eq \f(|BE|,|BC|)＝eq \f(|CF|,|CD|)＝eq \f(|DG|,|DA|)，P为GE与OF的交点(如图所示)，则是否存在两个定点，使点P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及该定值；若不存在，请说明理由。 [导思]　解决本题首先要选择适当的参数写出直线的方程，然后消去参数，注意参数的消去要有整体意识。将其方程化为标准形式，并且对字母系数的取值进行合理的分类讨论。 第*页 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-4 [解]　建立如题图所示的直角坐标系， 依题意有A(－2,0)，B(2,0)，C(2,4a)，D(－2,4a)。 设eq \f(|BE|,|BC|)＝eq \f(|CF|,|CD|)＝eq \f(|DG|,|DA|)＝k(0≤k≤1)， 由此有E(2,4ak)，F(2－4k,4a)，G(－2,4a－4ak)。 直线OF的方程为2ax＋(2k－1)y＝0，① 直线GE的方程为－a(2k－1)x＋y－2a＝0。② 由①②式消去参数k得点P(x，y)的坐标满足方程2a2x2＋y2－2ay＝0， 整理得eq \f(x2,\f(1,2))＋eq \f(y－a2,a2)＝1。 当a2＝eq \f(1,2)时，点P的轨迹为圆弧， 所以不存在符合题意的两点。 第*页 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-4 当a2≠eq \f(1,2)时，点P的轨迹为椭圆的一部分， 点P到该椭圆两焦点的距离的和为定值。 当a2<eq \f(1,2)时，点P到两焦点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(\f(1,2)－a2)，a))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(1,2)－a2)，a))的距离之和为定值eq