上海市南汇中学2020-2021学年高一下学期期末数学试题

上海南汇中学2020学年第二学期期末考试 高一数学 一、填空题：（每小题3分，共36分） 1. 已知复数 ，，若 为纯虚数，则实数 ______. 【答案】 2. 已知向量 ， ， ，则 =_____. 【答案】 3. 若 ，则 _____． 【答案】3 4. 已知角 满足 ，则 的值为______. 【答案】 5. 函数 ， 的单调增区间为______. 【答案】 6. 若 是方程 的一个根，则 ______. 【答案】13 7. 已知 ，则向量 在 方向上的投影为_________. 【答案】 8. 己知向量 、 ， ， ，则 的取值范围是______. 【答案】 9. 已知函数 与 的图像有一个横坐标为 的交点，则常数 的值为______. 【答案】 10. 复平面上两个点 ， 对应两个复数 ， ，它们满足下列两个条件：① ，且 ；②两点 ， 连线的中点所对应的复数 ，则 的面积为______. 【答案】 . 11. 如图是函数 在一个周期内的图像，该函数图像分别与 轴、 轴相交于 、 两点，与过点 的直线相交于另外两点 、 的 轴正方向的单位向量，则 ______. 【答案】 12. 定义：对于任意实数 、 ， .设函数 的表达式为 （ ，常数 ），函数 的表达式为 ，若对于任意 ，总存在 使得 成立，则实数 的取值范围是______. 【答案】 二、选择题：（每小题3分，共12分） 13. 在 中，如果 ，则 的形状为（　　）． A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 【答案】D 14. 设 ， 为复数，则下列命题中一定成立的是（ ） A. 如果 ，那么 B. 如果 ，那么 C. 如果 （ 正实数），那么 D. 如果 （ 为正实数），那么 【答案】D 15. 已知函数 ， ，则下列说法正确是（ ） A. 与 的定义域都是 B. 为奇函数， 为偶函数 C. 的值域为 ， 的值域为 D. 与 都不是周期函数 【答案】C 16. 已知在 中， 是边 上一个定点，满足 ，且对于边 上任意一点 ，恒有 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 三、解答题：（第17题8分，第18、19、20题各10分，第21题14分，共52分） 17. 已知复数 使得 ， ，其中 是虚数单位. （1）求复数 的共轭复数 ； （2）若复数 在复平面上对应的点在第四象限，求实数 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） . 18. 已知向量 ， . （1）若 ，求 的值； （2）若函数 ，求此函数当 时的最大值. 【答案】（1） ；（2） . 19. 如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东 方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4m，于是选择沿 路线清扫.已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2m/s,忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10秒钟完成了清扫任务. （1）B、C两处垃圾的距离是多少？（精确到0.1） （2）智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角 是多少？（用反三角函数表示） 【答案】（1）1.4米；（2） . 20. 设 ， ，其中 ， ， ， . （1）请你利用上述两个向量以及向量的知识证明： 并指出等号成立的条件； （2）请你运用（1）中证明不等式的向量方法，求函数 最大值. 【答案】（1）证明见解析；（2）2. 21. 中， . （1）如图1，若点 为 的重心，试用 、 表示 ； （2）如图2，若点 在以 为圆心， 为半径的圆弧 上运动（包含 、 两个端点），且 ，设 ，求 的取值范围； （3）如图3，若点 为 外接圆的圆心，设 ，求 的最小值. 【答案】（1） ；（2） ；（3）2. 本试卷的题干、答案和解析均由组卷网（http://zujuan.xkw.com）专业教师团队编校出品。 登录组卷网可对本试卷进行单题组卷、细目表分析、布置作业、举一反三等操作。 试卷地址：在组卷网浏览本卷 组卷网是学科网旗下的在线题库平台，覆盖小初高全学段全学科、超过900万精品解析试题。 关注组卷网服务号，可使用移动教学助手功能（布置作业、线上考试、加入错题本、错题训练）。 学科网长期征集全国最新统考试卷、名校试卷、原创题，赢取丰厚稿酬，欢迎合作。 钱老师 QQ：537008204    曹老师 QQ：713000635 $