四川省仁寿第一中学校南校区2020-2021学年高一期末模拟考试数学试题

仁寿一中南校区高2020级第二学期期末模拟考试数学试题 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.过点且与直线平行的直线方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 2. 若在中，角的对边分别为，则（ ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】A 3. 若首项为1的等比数列{an}的前3项和为3，则公比q为（ ） A．－2 B．1 C．－2或1 D．2或－1 【答案】C 4．已知向量与夹角为，且，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 5. 设的内角、、所对的边分别为、、，若，则的形状为（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 【答案】B 6. 若实数，满足约束条件，则的最小值是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 7. 直线与直线平行，则实数的值为（ ） A．1或-1 B．0或-1 C．-1 D．1 【答案】C 8. 设是某个等差数列的前n项和，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 9.已知正数满足，则的最大值是（ ） A． B． C．1 D． 【答案】B 10. 若且，下列四个式子：①；②；③；④；其中一定成立的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 11. 已知数列的各项均为正数，，，若数列的前n项和为4，则n为（ ） A．81 B．80 C．64 D．63 【答案】B 12. 锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是（ ） A．(） B．(） C．[) D．[，1) 【答案】C 【详解】 由题意得，（当且仅当时取等号）， 由于三角形是锐角三角形，所以，所以，解得所以，，设， 因为函数在单调递减，在上单调递增，所以函数无限接近中的较大者，所以 所以的取值范围是， 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分。请将正确答案直接答在答题卡相应的位置上。 13. 无论为何值，直线必过定点坐标为_ _ 【答案】 14. 已知数列中，，则___________. 【答案】 15. 设为所在平面上一点，且满足，若的面积为2，则面积为_______________． 【答案】3 16. 已知函数有两个零点且，则直线的斜率的取值范围是_________． 【答案】 三、解答题：本大题6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知向量． （1）求向量与的夹角； （2）若，且，求m的值． 【答案】（1） （2） 【详解】 解：（1）由，，则， 由题得，， 设向量与的夹角为，则， 由，所以. 即向量与的夹角为. （2）由，， 所以，又， 所以，又， 所以，解得. 18. 如图，在四边形中，.求： （1）的长度； （2）三角形的面积. 【答案】（1）；（2）. 【详解】 解：（1）在中，由余弦定理可得： ， 则； （2）在中，， ， 由正弦定理可得， 所以， 则. 19. 已知直线经过点，直线过点，且． （1）若与之间的距离最大，求最大距离，并求此时两直线的方程． （2）若与距离为5，求两直线的方程； 【详解】 （1）当经过两点的直线与两点连线垂直时，距离最大，此时斜率， 最大距离为， ，． （2）①若，的斜率都存在时， 设直线的斜率为，由斜截式得的方程，即． 由点斜式可得的方程，即． 在直线上取点， 则点到直线的距离， ， ． ，． ②若、的斜率不存在， 则的方程为，的方程为，它们之间的距离为5．同样满足条件． 20.已知数列的前n项和为，且满足，，. （1）求的通项公式； （2）设数列满足，，，按照如下规律构造新数列：，求的前2n项和. 【答案】（1），；（2）数列的前2n项和为. 【详解】 （1）由，， 得，所以. 因为，所以，所以，. 又当时，，适合上式. 所以，. （2）因为，，所以， 又，所以. 所以数列的偶数项构成以为首项､2为公比的等比数列. 故数列的前2n项的和， 所以数列的前2n项和为. 21. 在数学探究活动中，某兴趣小组合作制作一个工艺品，设计了如图所示的一个窗户，其中矩形的三边，，由长为8厘米的材料弯折而成，边的长为厘米()；曲线是一段抛物线，在如图所示的平面直角坐标系中，其解析式为，记窗户的高(点到边的距离)为. （1）求函数的解析式，并求要使得窗户的高最小，边应设计成多少厘米？ （2）要使得窗户的高与长的比值达到最小，