第三章 配餐3 导数与函数的极值、最值-高中数学选修1-1【赢在微点】轻松课堂（人教A版）课件PPT

第*页 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修1-1 配餐1刻钟 第三章 导数及其应用 第*页 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修1-1 配餐3 导数与函数的极值、最值 ►►配餐一刻钟　提高更轻松 第*页 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修1-1 知识与方法 1．运用导数求可导函数y＝f(x)的极值的步骤： ①先求函数y＝f(x)的定义域，再求函数y＝f(x)的导数f′(x)； ②求方程f′(x)＝0的根； ③检查导数f′(x)在方程根的左右两侧的值的符号。如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值。如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值。 特别注意：导数为零的点不一定是极值点。 第*页 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修1-1 2．如果闭区间[a，b]上的函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它在[a，b]上必有最大值和最小值。一般先求出函数的极值，再与端点的函数值比较，得出函数的最值。 涉及的主要题型： (1)求函数的最值； (2)用导数求解含参数的最值问题； (3)函数极值与最值的综合问题。 第*页 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修1-1 典型例题 【例1】　已知函数f(x)＝ax3＋3xlnx－a(a∈R)。 (1)当a＝0时，求f(x)的极值； [解]　(1)当a＝0时，f(x)＝3xlnx， 所以f′(x)＝3(lnx＋1)。 令f′(x)＝0，得x＝eq \f(1,e)。 当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))时，f′(x)<0；当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，＋∞))时，f′(x)>0。故f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))上单调递减，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，＋∞))上单调递增。故当x＝eq \f(1,e)时，f(x)有极小值feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))＝－eq \f(3,e)，f(x)无极大值。 第*页 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修1-1 (2)若f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))上有且只有一个极值点，求实数a的取值范围。(注：e是自然对数的底数) [解]　(2)设g(x)＝f′(x)＝3(ax2＋1＋lnx)，区间D为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))。 由题意，得g(x)在D上有且只有一个零点x0，且在x0的两侧，g(x)异号。 ①当a≥0时，g′(x)＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ax＋\f(1,x)))>0，g(x)在D上单调递增，所以g(x)>geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))≥0，所以g(x)在D上无零点。 ②当a<0时，在(0，＋∞)上考查g(x)， g′(x)＝eq \f(6a\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\r(－\f(1,2a))))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\r(－\f(1,2a)))),x)。 令g′(x)＝0，得x1＝eq \r(－\f(1,2a))， 故g(x)在(0，x1)上单调递增，在(x1，＋∞)上单调递减。 第*页 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修1-1 (ⅰ)当g(e)·geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))<0，即(ae2＋2)·eq \f(a,e2)<0，即－eq \f(2,e2)<a<0时，g(x)在D上有且只有一个零点x0，且在x0的两侧，g(x)异号。 (ⅱ)令geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))＝0，得eq \f(3a,e2)＝0，此式不成立。 (ⅲ)令g(e)＝0，得a＝－eq \f(2,e2)，所以 eq \r(－\f(1,2a))＝eq \f(e,2)∈D，geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(－\f(1,2a))))＝geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e,2)))＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋1＋ln\f(e,2)))＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋ln\f(e,2)))>