上海市松江区2020-2021学年高一下学期期末数学试题

松江区2020学年度第二学期期末质量监控试卷 高一数学 （满分150分，完卷时间120分钟）2021．06 考生注意： 1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分． 2．答题前，务必在答题纸上填写学校、班级、姓名和考号． 3．答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 计算 ______．（为虚数单位) 【答案】 2. 已知向量 ， ，若 ，则实数 的值是______． 【答案】 3. （文）若 为纯虚数（ 为虚数单位）， ，则 __________． 【答案】3 4. 已知 则 _____________． 【答案】6 5. 已知一扇形的弧所对的圆心角为 ，半径 ，则扇形的周长为_________ ． 【答案】 6. 化简： ______． 【答案】1 7. 在△ 中，若 ，则△ 的形状是______三角形． 【答案】等腰 8. 函数 的部分图像如图所示，则 ______． 【答案】 9. 已知 ，向量 ， ，当 取到最大值时， 的值是______． 【答案】 （或 或 ） 10. 已知 、 满足 ， 在 方向上数量投影为 ，则 的最小值为______． 【答案】10 11. 如图， 是线段 外一点， ， ， 是线段 的垂直平分线 上的动点，则 的值为______． 【答案】 12. 已知函数 ， ， ，若 的所有零点依次记为 ， ， ， ， ，且 ，则 ___________. 【答案】 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 若 ，则（ ） A. B. C D. 【答案】C 14. 要得到函数 的图像，只需将函数 的图像（ ） A. 向左平移 个单位； B. 向左平移 个单位； C. 向右平移 个单位； D. 向右平移 个单位 【答案】B 15. 欧拉公式 （ 为虚数单位， ， 为自然底数)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，现有以下两个结论：① ；② 其中所有正确结论的编号是（ ） A. ①②均正确 B. ①②均错误 C. ①对②错 D. ①错②对 【答案】A 16. 设函数 和函数 的图像公共点的横坐标从小到大依次为 ， ， ，…， ，若 ，则 的值为（ ） A. B. C D. 【答案】C 三、解答题（本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. （1）已知角 终边上有一点 的坐标是 ，其中 ，求 的值． （2）证明恒等式： ． 【答案】（1） ；（2）证明见解析. 18. 已知复数 ， （ ， 是虚数单位）． （1）若复数 在复平面上对应点落在第一象限，求实数 的取值范围； （2）若虚数 是实系数一元二次方程 的根，求实数 的值． 【答案】（1） ；（2）13. 19. 东西向的铁路上有两个道口 、 ,铁路两侧的公路分布如图, 位于 的南偏西 ,且位于 的南偏东 方向, 位于 的正北方向, , 处一辆救护车欲通过道口前往 处的医院送病人,发现北偏东 方向的 处(火车头位置)有一列火车自东向西驶来,若火车通过每个道口都需要 分钟,救护车和火车的速度均为 . （1）判断救护车通过道口 是否会受火车影响,并说明理由; （2）为了尽快将病人送到医院,救护车应选择 、 中的哪个道口？通过计算说明. 【答案】（1）救护车通过 会受影响，详见解析（2）选择 过道，详见解析 20. 已知函数 ， ， ． （1）求函数 的值域； （2）求函数 单调递减区间； （3）若不等式 恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） ；（3） 21. 已知 是线段 外一点，若 ， ． （1）设点 是 的重心，证明： ； （2）设点 、 是线段 的三等分点， 、 及 的重心依次为 、 、 ，试用向量 、 表示 ； （3）如果在线段 上有若干个等分点，请你写出一个正确的结论？(不必证明) 说明：第（3）题将根据结论一般性程度给予不同的评分． 【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3）答案见解析. 本试卷的题干、答案和解析均由组卷网（http://zujuan.xkw.com）专业教师团队编校出品。 登录组卷网可对本试卷进行单题组卷、细目表分析、布置作业、举一反三等操作。 试卷地址：在