第四章 第四节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用-备战2022年（新高考）数学一轮复习考点讲解+习题练习

第四节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用 知识回顾 1．简谐运动的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ 2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点 x ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径． 课前检测 1.用“五点法”，作 的图象时，首先描出的五个点的横坐标是 (　　) A．，，，， B．，，，， C．，，，， D．，，，， 【答案】B 【解析】分别令 ， 可得 ． 2．（2020•山东新高考模拟演练8）为了得到函数的图像，可以将函数的图像( ) A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 【答案】B 【解析】答案：B 因为，且==， 所以由=，知，即只需将的图像向右平移个单位，故选B 3．函数y＝2sin的振幅、频率和初相分别为(　　) A．2，，　　　　　　　 B．2，， C．2，， D．2，，－ 解析：选A　由振幅、频率和初相的定义可知，函数y＝2sin的振幅为2，频率为，初相为. 4．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b,0<φ<π，则这段曲线的函数解析式为__________________________． 答案　y＝10sin＋20，x∈[6,14] 解析　从题图中可以看出，从6～14时的图象是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期， 所以A＝×(30－10)＝10， b＝×(30＋10)＝20， 又×＝14－6， 所以ω＝. 又×10＋φ＝2kπ，k∈Z,0<φ<π，所以φ＝， 所以y＝10sin＋20，x∈[6,14]． 5．(多选)将函数f (x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则(　　) A．g(x)在上的最小值为－ B．g(x)在上的最小值为－1 C．g(x)在上的最大值为 D．g(x)在上的最大值为1 答案　AD 解析　将函数f (x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)＝sin， ∵x∈， ∴≤2x＋≤， ∴－≤sin≤1. 6．已知函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则使f (x＋m)－f (m－x)＝0成立的m的最小正值为________． 答案　 解析　由函数图象可知A＝1，又＝－＝，T＝π， 所以ω＝＝2，因为函数图象过点，代入解析式可知sin＝0，所以＋φ＝π＋2kπ，k∈Z. 因为|φ|<，所以＋φ＝π，φ＝， 所以函数解析式为f (x)＝sin， 由2x＋＝kπ＋，k∈Z，可得其对称轴x＝＋，k∈Z. 因为f (x＋m)－f (m－x)＝0，即f (x＋m)＝f (m－x)， 所以x＝m是函数的一条对称轴，当k＝0时，m的最小正值为m＝. 课中讲解 考点一．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ）的图像及变换 例1　已知函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期是π，且当x＝时，f (x)取得最大值2. (1)求f (x)的解析式； (2)作出f (x)在[0，π]上的图象(要列表)； (3)函数y＝f (x)的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？ 解　(1)因为函数f (x)的最小正周期是π，所以ω＝2. 又因为当x＝时，f (x)取得最大值2.所以A＝2， 同时2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z， φ＝2kπ＋，k∈Z， 因为－<φ<，所以φ＝， 所以f (x)＝2sin. (2)因为x∈[0，π]，所以2x＋∈. 列表如下： 2x＋ π 2π x 0 π f (x) 1 2 0 －2 0 1 描点、连线得图象： (3)将y＝sin x的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，再将y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin的图象，再将y＝sin上所有点的纵坐标伸长2倍(横坐标不变)，得到f (x)＝2sin的图象． 变式1．（20揭阳文数摸底）要得到的图象，只需把的图象（） A.向左平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位 【答案】A 【解析】，， 所以，其图象由的图象向左平移个单位得到，选A； 例2．(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C1：