专题1.5 集合的基本运算-重难点题型精讲-2021-2022学年高一数学举一反三系列（北师大版2019必修第一册）

专题1.5 集合的基本运算-重难点题型精讲 1．并集的概念及表示 2.交集的概念及表示 温馨提示：(1)两个集合的并集、交集还是一个集合． (2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． (3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． 3．并集、交集的运算性质 4．全集 (1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)符号表示：全集通常记作U. 5．补集 温馨提示：∁UA的三层含义： (1)∁UA表示一个集合； (2)A是U的子集，即A⊆U； (3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合． 【题型1 并集的运算】 【方法点拨】 ①定义法：若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果． ②数形结合法：若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示． 【例1】（2020秋•郴州期末）若集合A＝{0，1，3}，B＝{﹣1，0，2，3}，则A∪B等于（　　） A．{﹣1，0，1，2，3} B．{﹣1，0，2，3} C．{0，1，3} D．{0，3} 【分析】直接利用集合并集的定义进行求解即可． 【解答】解：因为集合A＝{0，1，3}，B＝{﹣1，0，2，3}， 所以A∪B＝{﹣1，0，1，2，3}． 故选：A． 【点评】本题考查了集合的运算，涉及了集合并集的求解，解题的关键是掌握集合并集的定义，即由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与B的并集，记作A∪B．属于基础题． 【变式1-1】（2020秋•阎良区期末）已知集合P＝{x|﹣1＜x＜3}，Q＝{x|0＜x＜1}，则P∪Q＝（　　） A．{x|0＜x＜1} B．{x|﹣1＜x＜3} C．{x|﹣1＜x＜0或1＜x＜3} D．∅ 【分析】直接利用两个集合并集的定义分析求解即可． 【解答】解：因为集合P＝{x|﹣1＜x＜3}，Q＝{x|0＜x＜1}， 所以P∪Q＝{x|﹣1＜x＜3}． 故选：B． 【点评】本题考查了集合的基本运算，涉及了集合并集定义理解和应用，解题的关键是掌握集合并集的含义． 【变式1-2】[多选题]（2021春•辛集市校级期中）已知集合A＝{4，a}，B＝{1，a2}，a∈R，则A∪B可能是（　　） A．{﹣1，1，4} B．{1，0，4} C．{1，2，4} D．{﹣2，1，4} 【分析】A∪B含3个元素时可得出a＝1或a＝a2或a2＝4，然后根据集合元素的互异性求出a＝0，或a＝2或a＝﹣2，然后即可求出A∪B，从而得出正确的选项． 【解答】解：若A∪B含3个元素，则a＝1或a＝a2或a2＝4， a＝1时，不满足集合元素的互异性，a＝0，a＝2或a＝﹣2时满足题意， a＝0时，A∪B＝{1，0，4}；a＝2时，A∪B＝{1，2，4}；a＝﹣2时，A∪B＝{4，﹣2，1}． 故选：BCD． 【点评】本题考查了集合的列举法的定义，并集及其运算，集合元素的互异性，考查了计算能力，属于基础题． 【变式1-3】（2020秋•天津月考）已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，集合B＝{x|x2﹣ax+a﹣1＝0}． （1）若A＝B，求a的值； （2）若A∪B＝A，求a的值． 【分析】（1）可求出A＝{1，2}，根据A＝B可得出1，2∈B，从而可得出a＝3； （2）根据A∪B＝A可得出B⊆A，对于方程x2﹣ax+a﹣1＝0，可求出△＝（a﹣2）2，然后讨论△＝0和△＞0，分别求出a的值即可． 【解答】解：（1）A＝{1，2}， ∵A＝B，∴1，2∈B， ∴a＝1+2＝3； （2）∵A∪B＝A， ∴B⊆A， ∴①△＝a2﹣4a+4＝（a﹣2）2＝0，即a＝2时，B＝{1}，满足题意； ②△＞0时，1，2∈B，∴a＝3， 综上得，a＝2或3． 【点评】本题考查了描述法和列举法的定义，集合相等的定义，并集的定义及运算，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题． 【题型2 交集的运算】 【方法点拨】 ①求两集合的交集时，首先要化简集合，使集合的元素特征尽量明朗化，然后根据交集的含义写出结果． ②在求与不等式有关的集合的交集运算中，应重点考虑数轴分析法，直观清晰． 【例2】（2021春•姜堰区校级月考）设集合M＝{x∈R|0≤x≤2}，N＝{x∈N|﹣1＜x＜3}，则M∩N＝（　　） A．{1，2} B．{0，1，2} C．{x|0≤x≤2} D．{x|﹣1＜x＜3} 【分析】可求出集合N，然后进行交集的运算即可． 【解答】解：∵M＝{x|0≤x≤2}，N＝{0，1，2}， ∴M∩N＝{0，1，2}．