云南省昆明一中教育集团2022届高二期末数学（理）试题

昆明一中教育集团2022届高二升高三诊断性考试 理科数学 命题、审题：昆明一中教育集团数学命题组 本试卷共4页，22题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合 ，集合，则 真子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 2. 若 ，则复数 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 3. “哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于 的偶数都可以写成两个质数(素数)之和，也就是我们所谓的“ ”问题.它是 年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中都做出了相当好的成绩.若将 拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 4. 已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 5. 一个体积为12的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的高为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 6. 直线 上的点到圆 上点的最近距离为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 7. 函数 的大致图像为 A. B. C. D. 【答案】A 8. 设数列 的前 项和为 ，若 ，且 ， ，则 （ ） A. B. C. 9 D. 11 【答案】B 9. 已知正四棱锥 的所有顶点都在球 的球面上，且 ， ，则球 的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 10. 在空间直角坐标系 中，经过点 ，且法向量为 的平面方程为 ，经过点 且一个方向向量为 的直线 方程为 ．已知：在空间直角坐标系 中，平面 的方程为 ，经过 的直线 方程为 ，则直线 与平面 所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 11. 已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 、 ， 是双曲线 的右支上一点，且 ．若直线 与圆 相切，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 12. 已知定义在 上的函数 满足：函数 为奇函数，且对 ， 恒成立（ 是函数 的导函数），则不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 糖水不等式： 成立的实数 是有条件限制的，使糖水不等式： 不成立的 的值可以是_____________________（只需填满足题意的一个值即可）． 【答案】1（答案不唯一） 14. 在△ 中， ， ，则 _____________． 【答案】 15. 已知 和 ，则函数 的图象与 的图象的对称轴之间的最短距离为______________． 【答案】 16. 设抛物线 ： 的焦点为 ，准线为 ，点 为 上一点，以 为圆心， 为半径的圆交 于 ， 两点，若 ，△ 的面积为 ，则抛物线 的方程为______________． 【答案】 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知△ 内角 ， ， 所对边分别为 ， ， ，且 ． （1）求 ； （2）若 ， ，求△ 的面积． 【答案】（1） ；（2） . 18. 某科技公司对其主推产品在过去5个月的月科技投入 （百万元）和相应的销售额 （百万元）进行了统计，其中 ，2，3，4，5，对所得数据进行整理，绘制散点图并计算出一些统计量如下： ， ， ， ， ， ， ，其中 ， ，2，3，4，5． （1）根据散点图判断， 与 哪一个适宜作为月销售额 关于月科技投入 回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （2）根据（1）判断结果及题中所给数据，建立 关于 的回归方程，并据此估计月科技投入300万元时的月销售额． 附：对于一组数据 ， ，…， ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ， 【答案】（1）选 作为回归方程类型；（2） ，投入300万元时的月销售额 百万元. 19. 已知数列 各项均为正数， ， ，且 对任意 恒成立． （1）若 ，求 的值； （2）若 ，①证明：数列